新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲　函数的奇偶性及周期性

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第3讲　函数的奇偶性及周期性
一、知识梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有
f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)是偶函数 关于 y
轴 对称
奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有
f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称
[注意]　奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函
数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的任
何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最
小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
[注意]　不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.
常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相
反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝
奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值 x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
二、教材衍化
1．下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x　　　　　　　 B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x| D．y＝2－x
解析：选B．根据偶函数的定义知偶函数满足 f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A
选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不
1
是奇函数，也不是偶函数．故选 B．
2．设 f(x)是定义在 R上的周期为 2的函数，当 x∈[－1，1)时，f(x)＝
则f＝________．
解析：由题意得，f＝f＝－4×＋2＝1.
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在 R上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0.(　　)
(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)
(3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)
(5)若T是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
二、易错纠偏
(1)利用奇偶性求解析式忽视定义域；
(2)周期不能正确求出从而结果求错．
1．已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则 x<0 时，f(x)＝
________．
解析：当x<0 时，则－x＞0，所以 f(－x)＝(－x)(1－x)．又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝
－f(x)＝(－x)(1－x)，所以 f(x)＝x(1－x)．
答案：x(1－x)
2．已知函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－.当1≤x≤3时，f(x)＝x，则 f(105)＝________．
解析：因为 f(x＋2)＝－，所以 f(x＋4)＝f(x)，故4为函数 f(x)的一个周期．f(105)＝
f(4×26＋1)＝f(1)＝1.
答案：1
考点一　函数的奇偶性(基础型)
结合具体函数了解奇偶性的含义，并运用函数图象理解和研究函数的性质．
核心素养：数学抽象、直观想象
角度一　判断函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3－；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝
【解】　(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
2
并且对于定义域内的任意一个 x都有
f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)，
从而函数 f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，
所以 f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)f(x)的定义域为 R，关于原点对称，
当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0 时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足 f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
判定函数奇偶性的 3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇
×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[提醒]　对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在 x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判
断函数 f(x)是奇函数．
角度二　函数奇偶性的应用
(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当 x≥0时，f(x)＝ex－1，则当 x＜0时，
f(x)＝(　　)
A．e－x－1 B．e－x＋1
C．－e－x－1 D．－e－x＋1
【解析】　通解：依题意得，当x<0 时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选
3
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