新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲　高效演练分层突破(6)

3.0 envi 2025-04-11 4 4 233.32KB 5 页 3知币
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[基础题组练]
1．设 a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数 k的值等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选A．c＝a＋kb＝(1，2)＋k(1，1)＝(1＋k，2＋k)，因为 b⊥c，所以 b·c＝0，b·c
＝(1，1)·(1＋k，2＋k)＝1＋k＋2＋k＝3＋2k＝0，所以 k＝－.
2．(2020·湖南省五市十校联考)已知向量 a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a
＋b|＝(　　)
A． B．
C．2 D．
解析：选A．由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以 2a·b＝1，所以|a＋b|
＝＝＝.故选 A．
3．(2020·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知 a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则
a，b夹角的余弦值等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：选B．设 b＝(x，y)，则有 a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，
所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选 B．
4．已知向量|OA|＝3，|OB|＝2，OC ＝mOA＋nOB，若OA与OB的夹角为 60°，且
OC⊥AB，则实数的值为(　　)
A． B．
C．6 D．4
解析：选A．因为向量|OA|＝3，|OB|＝2，OC＝mOA＋nOB，OA与OB夹角为 60°，所
以OA·OB＝3×2×cos 60°＝3，
所以AB·OC＝(OB－OA)·(mOA＋nOB)
＝(m－n)OA·OB－m|OA|2＋n|OB|2
＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝，故选 A．
5．(多选)已知△ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 2，OA＋AB＋AC＝0，且|OA|＝|
AB|，下列结论正确的是(　　)
A．CA在CB方向上的投影长为－
B．OA·AB＝OA·AC
C．CA在CB方向上的投影长为
D．OB·AB＝OC·AC
解析：选BCD．由OA＋AB＋AC＝0得OB＝－AC＝CA，所以四边形 OBAC 为平行四
边形．又 O为△ABC 外接圆的圆心，所以|OB|＝|OA|，又|OA|＝|AB|，所以△OAB 为正三角形．
1
因为△ABC 的外接圆半径为 2，所以四边形 OBAC 是边长为 2的菱形，所以∠ACB＝，所以
CA在CB上的投影为|CA|cos＝2×＝，故C正确．因为OA·AB＝OA·AC＝－2，OB·AB＝
OC·AC＝2，故B，D正确．
6．设向量 a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量 a＋2b与2a－b平行，那么 a与b的数
量积等于________．
解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得 3(－1＋2m)－4(－2－
m)＝0，则m＝－，所以 a·b＝－1×＋2×1＝.
答案：
7．已知点 M，N满足|MC|＝|NC|＝3，且|CM＋CN|＝2，则 M，N两点间的距离为____
____．
解析：依题意，得|CM＋CN|2＝|CM|2＋|CN|2＋2CM·CN＝18＋2CM·CN＝20，则CM·CN
＝1，故M，N两点间的距离为|MN|＝|CN－CM|
＝
＝＝4.
答案：4
8．(2020·山东师大附中二模改编)已知向量 a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则
向量 a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
解析：由题意，设向量 a，b的夹角为 θ，因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－
b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得 cos θ＝.又因为 0≤θ≤π，所以 θ＝.则
a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.
答案：　6
9．已知向量 a＝(2，－1)，b＝(1，x)．
(1)若a⊥(a＋b)，求|b|的值；
(2)若a＋2b＝(4，－7)，求向量 a与b夹角的大小．
解：(1)由题意得 a＋b＝(3，－1＋x)．
由a⊥(a＋b)，可得 6＋1－x＝0，
解得 x＝7，即b＝(1，7)，
所以|b|＝＝5.
(2)由题意得，a＋2b＝(4，2x－1)＝(4，－7)，
故x＝－3，所以 b＝(1，－3)，
所以 cos〈a，b〉＝＝＝，
2
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