新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲　高效演练分层突破(4)

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[基础题组练]
1．若直线 l不平行于平面 α，且 l⊄α，则(　　)
A．α内的所有直线与 l异面
B．α内不存在与 l平行的直线
C．α与直线 l至少有两个公共点
D．α内的直线与 l都相交
解析：选B．因为 l⊄α，直线 l不平行于平面 α，所以直线 l只能与平面 α相交，于是
直线 l与平面 α只有一个公共点，所以平面 α内不存在与 l平行的直线．
2．(2020·大连双基测试)已知直线 l，m，平面 α，β，γ，则下列条件能推出 l∥m的是(
)
A．l⊂α，m⊂β，α∥β B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m
C．l∥α，m⊂α D．l⊂α，α∩β＝m
解析：选B．选项 A中，直线 l，m也可能异面；选项 B中，根据面面平行的性质定理，
可推出 l∥m，B正确；选项 C中，直线 l，m也可能异面；选项 D中，直线 l，m也可能相
交，故选 B．
3．(2020·长沙市统一模拟考试)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，下列
命题：
① 若 a∥c，b∥c，则 a∥b；②若 a∥b，b∥α，则 a∥α；③若 a∥α，b∥α，则 a∥b；
④若 a⊂α，b⊂β，α∥β，则 a∥b.
真命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A．由题意，对于①，根据线线平行的传递性可知①是真命题；对于②，根
据a∥b，b∥α，可以推出 a∥α或a⊂α，故②是假命题；对于③，根据 a∥α，b∥α，可以
推出 a与b平行、相交或异面，故③是假命题；对于④，根据 a⊂α，b⊂β.α∥β，可以推出
a∥b或a与b异面，故④是假命题，所以真命题的个数是 1，故选 A．
4.如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E，F分别为边 AB，AD 上的点，且 AE∶EB＝
AF∶FD＝1∶4，又 H，G分别为 BC，CD 的中点，则(　　)
A．BD∥平面 EFGH，且四边形 EFGH 是矩形
B．EF∥平面 BCD，且四边形 EFGH 是梯形
1
C．HG∥平面 ABD，且四边形 EFGH 是菱形
D．EH∥平面 ADC，且四边形 EFGH 是平行四边形
解析：选B．由 AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF\s\do3(═)BD，又EF⊄平面 BCD，所
以EF∥平面 BCD.又H，G分别为 BC，CD 的中点，所以 HG\s\do3(═)BD，所以 EF∥HG
且EF≠HG.所以四边形 EFGH 是梯形．
5.在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是 A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四
个推断：
①FG∥平面 AA1D1D；② EF∥平面 BC1D1；③ FG∥平面 BC1D1；④平面 EFG∥平面
BC1D1.
其中推断正确的序号是(　　)
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
解析：选A．因为在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是 A1B1，B1C1，BB1的中
点，所以 FG∥BC1，因为 BC1∥AD1，所以 FG∥AD1，
因为 FG⊄平面 AA1D1D，AD1⊂平面 AA1D1D，所以 FG∥平面 AA1D1D，故①正确；
因为 EF∥A1C1，A1C1与平面 BC1D1相交，所以 EF 与平面 BC1D1相交，故②错误；
因为 E，F，G分别是 A1B1，B1C1，BB1的中点，
所以 FG∥BC1，因为 FG⊄平面 BC1D1，BC1⊂平面 BC1D1，
所以 FG∥平面 BC1D1，故③正确；
因为 EF 与平面 BC1D1相交，所以平面 EFG 与平面 BC1D1相交，故④错误．故选 A．
6.如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点 E为AD 的中点，点 F在CD 上．若
EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长等于________．
解析：因为 EF∥平面 AB1C，EF⊂平面 ABCD，平面 ABCD∩平面 AB1C＝AC，所以
EF∥AC，所以点 F为DC 的中点．
故EF＝AC＝.
答案：
7．在下面给出的条件中，若条件足够推出 a∥α，则在横线上填“OK”；若条件不能
2
保证推出 a∥α，则请在横线上补足条件：
(1)条件：a∥b，b∥c，c⊂α，______，结论：a∥α；
(2)条件：α∩β＝b，a∥b，a⊂β，______，结论：a∥α.
解析：因为 a∥b，b∥c，c⊂α，所以由直线与平面平行的判定定理得 ，当a⊄α时，
a∥α.因为 α∩β＝b，a∥b，a⊂β，则由直线与平面平行的判定定理得 a∥α.
答案：a⊄α　OK
8．在四面体 ABCD 中，M，N分别是△ACD，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与
MN 平行的是________．
解析：如图，取CD 的中点 E，连接 AE，BE，
则EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，
所以 MN∥AB.
因为 AB⊂平面 ABD，MN⊄平面 ABD，AB⊂平面 ABC，MN⊄平面 ABC，
所以 MN∥平面 ABD，MN∥平面 ABC.
答案：平面 ABD 与平面 ABC
9.在如图所示的一块木料中，棱 BC 平行于平面 A′B′C′D′.
(1)要经过平面 A′B′C′D′内的一点 P和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？
(2)所画的线与平面 ABCD 是什么位置关系？并证明你的结论．
解： (1)过点 P作B′C′的平行线，
交A′B′，C′D′于点 E，F，
连接 BE，CF.
作图如右：
(2)EF∥平面 ABCD.理由如下：
因为 BC∥平面 A′B′C′D′，
又因为平面 B′C′CB∩平面 A′B′C′D′＝B′C′，
所以 BC∥B′C′，因为 EF∥B′C′，所以 EF∥BC，
又因为 EF⊄平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD，
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