新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲　高效演练分层突破(3)

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[基础题组练]
1．函数 f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是(　　)
A．25，－2　　　　　　　　 B．50，14
C．50，－2 D．50，－14
解析：选C．因为 f(x)＝2x3＋9x2－2，所以 f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或
x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(－4)
＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数 f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和
最小值分别是 50，－2.
2．(多选)已知函数 y＝f(x)的导函数 f′(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是(　　)
A．函数 y＝f(x)在区间内单调递增
B．当 x＝－2时，函数 y＝f(x)取得极小值
C．函数 y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增
D．当 x＝3时，函数 y＝f(x)有极小值
解析：选BC．对于 A，函数 y＝f(x)在区间内有增有减，故A不正确；对于 B，当x＝
－2时，函数 y＝f(x)取得极小值，故B正确；对于 C，当x∈(－2，2)时，恒有 f′(x)＞0，则
函数 y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故C正确；对于 D，当x＝3时，f′(x)≠0，故D不
正确．
3．已知函数 f(x)＝2f′(1)ln x－x，则 f(x)的极大值为(　　)
A．2 B．2ln 2－2
C．e D．2－e
解析：选B．函数 f(x)定义域(0，＋∞)，f′(x)＝－1，所以 f′(1)＝1，f(x)＝2ln x－x，令f′
(x)＝－1＝0，解得 x＝2.当0<x<2 时，f′(x)>0，当x>2 时，f′(x)<0，所以当 x＝2时函数取得
极大值，极大值为 2ln 2－2.
4．(应用型)用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小
正方形，然后把四边翻转 90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为(　　)
A．120 000 cm3 B．128 000 cm3
C．150 000 cm3 D．158 000 cm3
解析：选B．设水箱底长为 x cm，则高为 cm.
1
由得 0＜x＜120.
设容器的容积为 y cm3，则有 y＝－x3＋60x2.
求导数，有y′＝－x2＋120x.
令y′＝0，解得 x＝80(x＝0舍去)．
当x∈(0，80)时，y′＞0；当 x∈(80，120)时，y′＜0.
因此，x＝80 是函数 y＝－x3＋60x2的极大值点，也是最大值点，
此时 y＝128 000.故选 B．
5．函数 f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．无数
解析：选A．函数定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝6x＋－2＝，
由于 x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0，
所以 g(x)>0 恒成立，故f′(x)>0 恒成立，
即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．
6．函数 f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________处取得极小值．
解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表
x(－∞，0) 0 (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x)极大值 极小值
所以在 x＝2处取得极小值．
答案：2
7．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数 f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为
6，则实数 a＝________；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数 a的取值范
围是________．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，结合题意 f′(1)＝3a＋9＝6，解得 a＝－1；若函数在(－
1，3)内既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0在(－1，3)内有 2个不相等的实数根，则解得－
<a<－3.
答案：－1　
8．(2020·甘肃兰州一中期末改编)若x＝－2是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则 f′
(－2)＝________，f(x)的极小值为________．
解析：由函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex可得 f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex，因为 x＝－2是
函数 f(x)的极值点，所以 f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，
解得 a＝－1.所以 f′(x)＝(x2＋x－2)ex.令f′(x)＝0可得 x＝－2或x＝1.当x<－2或x>1 时，f′
(x)>0，此时函数 f(x)为增函数，当－2<x<1 时，f′(x)<0，此时函数 f(x)为减函数，所以当 x＝
2
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