新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲　高效演练分层突破(1)

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[基础题组练]
1．(2020·安徽省六校联考)若正实数 x，y满足 x＋y＝2，则的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A．因为正实数 x，y满足 x＋y＝2，
所以 xy≤＝＝1，所以≥1.
2．若 2x＋2y＝1，则 x＋y的取值范围是(　　)
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：选D．因为 1＝2x＋2y≥2＝2，(当且仅当 2x＝2y＝，即x＝y＝－1时等号成立)所
以≤，所以 2x＋y≤，得x＋y≤－2.
3．若实数 a，b满足＋＝，则 ab 的最小值为(　　)
A． B．2
C．2 D．4
解析：选C．因为＋＝，所以 a＞0，b＞0，
由＝＋≥2＝2，
所以 ab≥2(当且仅当 b＝2a时取等号)，
所以 ab 的最小值为 2.
4．(多选)若a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a＋b≥2 B．＋>
C．＋≥2 D．a2＋b2≥2ab
解析：选CD．因为 ab>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当 a＝b时取等号．所
以选项 C正确，又a，b∈R，所以(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab 一定成立．
5．已知 x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是(　　)
A．2 B．2
C．4 D．2
解析：选C．因为 lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以 lg(2x·8y)＝lg 2，所以 2x＋3y＝2，所以 x＋3y＝
1.
因为 x>0，y>0，所以＋＝(x＋3y)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当 x＝3y＝时取等号，所
以＋的最小值为 4.故选 C．
6．设 P(x，y)是函数 y＝(x>0)图象上的点，则 x＋y的最小值为________．
解析：因为 x>0，所以 y>0，且xy＝2.由基本不等式得 x＋y≥2＝2，当且仅当 x＝y时
等号成立．所以 x＋y的最小值为 2.
答案：2
1
7．函数 y＝(x>－1)的最小值为________．
解析：因为 y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，
所以 y≥2－2＝0，
当且仅当 x＝0时，等号成立．
答案：0
8．(2020·湖南岳阳期末改编)若a>0，b>0，且 a＋2b－4＝0，则 ab 的最大值为_______
_，＋的最小值为________．
解析：因为 a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以 a＋2b＝4，所以 ab＝a·2b≤×＝2，当
且仅当 a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以 ab 的最大值为 2，因为＋＝·＝(5＋＋)≥
＝，当且仅当 a＝b时等号成立，所以＋的最小值为.
答案：2　
9．(1)当x<时，求函数 y＝x＋的最大值；
(2)设0<x<2，求函数 y＝的最大值．
解：(1)y＝(2x－3)＋＋
＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，
所以＋≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝－时取等号．
于是 y≤－4＋＝－，
故函数的最大值为－.
(2)因为 0<x<2，所以 2－x>0，
所以 y＝＝·≤·＝，当且仅当 x＝2－x，
即x＝1时取等号，
所以当 x＝1时，函数 y＝的最大值为.
10．已知 x>0，y>0，且 2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy 的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，
当且仅当 x＝16，y＝4时，等号成立．
2
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