新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲　二项式定理

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第3讲　二项式定理
一、知识梳理
1．二项式定理
(1)定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项：
第k＋1项为 Tk＋1＝C a n
－
k
b k
．
(3)二项式系数：
二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．
2．二项式系数的性质
常用结论
1．两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．二项展开式的三个重要特征
(1)字母 a的指数按降幂排列由 n到0.
(2)字母 b的指数按升幂排列由 0到n.
(3)每一项字母 a的指数与字母 b的指数的和等于 n.
二、教材衍化
1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数为________．
解析：Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，当k＝2时，x2的系数为 C·22＝40.
答案：40
2．若展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为________．
解析：二项式系数之和 2n＝64，所以 n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，当6－2k＝0，
即当 k＝3时为常数项，T4＝C＝20.
答案：20
3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋a4的值为________．
1
解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两
式相加得 a0＋a2＋a4＝8.
答案：8
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n的展开式中的第 r项是 Can－rbr.(　　)
(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　)
(3)在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数与 a，b无关．(　　)
(4)通项 Tr＋1＝Can－rbr中的 a和b不能互换．(　　)
(5)(a＋b)n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
(1)混淆“二项式系数”与“系数”致误；
(2)配凑不当致误．
1．在二项式，的展开式中，所有二项式系数的和是 32，则展开式中各项系数的和为_
_______．
解析：由题意得 2n＝32，所以 n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.
答案：－1
2．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则 a8＝________．
解析：因为(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展开式的通项为 Tr＋1＝(－1)r210－r·C(1－
x)r，令r＝8，得a8＝4C＝180.
答案：180
3．(x＋1)5(x－2)的展开式中 x2的系数为________．
解析：(x＋1)5(x－2)＝x(x＋1)5－2(x＋1)5展开式中含有 x2的项为－20x2＋5x2＝－15x2.故
x2的系数为－15.
答案：－15
考点一　二项展开式的特定项(系数)(基础型)
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式
有关的简单问题．
核心素养：数学抽象、数学运算
角度一　求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与
特定项相关的量
(1)在的展开式中，x2的系数为________．
(2)在二项式的展开式中，若常数项为－10，则 a＝________．
2
【解析】　(1)的展开式的通项 Tr＋1＝Cx5－r＝Cx5－，令 5－r＝2，得 r＝2，所以 x2的系
数为 C＝.　
(2)的展开式的通项 Tr＋1＝C(ax2)5－r×＝Ca5－rx10－，令 10－＝0，得 r＝4，所以 Ca5－4
＝－10，解得 a＝－2.
【答案】　(1)　(2)－2
求二项展开式中的特定项的系数问题的步骤
(1)利用通项将 Tk＋1项写出并化简．
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解
出k.
(3)代回通项得所求．　
角度二　求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的
展开式中与特定项相关的量
(1)(2019·高考全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中 x3的系数为(　　)
A．12　　　　　　 B．16
C．20 D．24
(2)(2020·南昌模拟)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含 x2项的系数为 0，则正实数 a＝
________．
【解析】　(1)展开式中含 x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的
系数为 C＋2C＝4＋8＝12.
(2)(ax＋1)6的展开式中 x2项的系数为 Ca2，x项的系数为 Ca，由(x－1)(ax＋1)6的展开式
中含 x2项的系数为 0，可得－Ca2＋Ca＝0，因为 a为正实数，所以 15a＝6，所以 a＝.
【答案】　(1)A　(2)
求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的思路
(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋
d)n，然后分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－
x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑．　
角度三　求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
中与特定项相关的量
(1)(x2－x＋1)10 的展开式中 x3项的系数为(　　)
A．－210 B．210
C．30 D．－30
(2)(x2＋x＋y)5的展开式中 x5y2的系数为(　　)
3
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