新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲　第2课时　简单的三角恒等变换

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第2课时　简单的三角恒等变换
考点一　三角函数式的化简(基础型)
复习指导三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角
函数式时，一般需要升次．
化简：(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________；
(2)·＝________．
【解析】　(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
(2)原式＝·
＝·
＝·＝.
【答案】　(1)sin(α＋γ)　(2)
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
1．(2020·长沙模拟)化简：＝________．
解析：＝＝
＝4sin α.
答案：4sin α
2．化简：.
解：原式＝
＝
＝
＝cos 2x.
考点二　三角函数式的求值(综合型)
1
三角函数的求值包括给角求值、给值求值、给值求角三类．
角度一　给角求值
计算＝________．
【解析】　
＝
＝＝
＝＝2.
【答案】　2
给角求值问题的解题策略
在三角函数的给角求值问题中，已知角常常是非特殊角，但非特殊角与特殊角总有一
定关系．
[基本思路]　观察所给角与特殊角之间的关系，利用和、差、倍角公式等将非特殊角
的三角函数值转化为：
　
角度二　给值求值
已知 α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
【解】　(1)因为 tan α＝，tan α＝，所以 sin α＝cos α.
因为 sin2 α＋cos2 α＝1，所以 cos2 α＝，
因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－.
(2)因为 α，β为锐角，所以 α＋β∈(0，π)．
又因为 cos(α＋β)＝－，
所以 sin(α＋β)＝＝，
因此 tan(α＋β)＝－2.
因为 tan α＝，所以 tan 2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
给值求值问题的解题策略
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值．
解题关键：把“所求角”用“已知角”表示
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或
和或差的二倍形式；
2
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关
系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解．
角度三　给值求角
(一题多解)在平面直角坐标系 xOy 中，锐角 α，β的顶点为坐标原点 O，始边为 x
轴的非负半轴，终边与单位圆 O的交点分别为 P，Q.已知点 P的横坐标为，点 Q的纵坐标
为，则 2α－β的值为________．
【解析】　法一：由已知可知 cos α＝，sin β＝.
又α，β为锐角，所以 sin α＝，cos β＝.
因此 cos 2α＝2cos2α－1＝，sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以 sin(2α－β)＝×－×＝.
因为 α为锐角，所以 0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以 0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin(2α－β)＝，所以 2α－β＝.
法二：同法一得，cos β＝，sin α＝.
因为 α，β为锐角，所以 α－β∈.
所以 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝.
所以 sin(α－β)＞0，故α－β∈，
故cos(α－β)＝＝＝.
又α∈，所以 2α－β＝α＋(α－β)∈(0，π)．
所以 cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin α·sin(α－β)＝×－×＝.
所以 2α－β＝.
【答案】　
(1)给值求角问题的解题策略
①求相关角的某一个三角函数值．
②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据
已知角的范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解．
(2)在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；
②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可；
③已知正、余弦函数值，若角的范围是(0，π)，选余弦函数；
④已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正弦函数．
3
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