新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲　等比数列及其前n项和

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第3讲　等比数列及其前 n项和

一、知识梳理

1．等比数列的有关概念

(1)定义：

① 文字语言：一个数列从第

项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非

零)．

② 符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)．

(2)等比中项：如果 a，G，b成等比数列，那么 G

叫做 a与b的等比中项．即 G2＝ab．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1q n

－

．

(2)前n项和公式：Sn＝

3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前 n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)

(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则 am·an＝ap· a q＝a；

(2)数列 am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；

(3)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比 q≠－1)．

常用结论

1．等比数列的单调性

当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列；

当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列；

当q＝1时，{an}是常数列．

2．等比数列与指数函数的关系

当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数 y＝cqx，是一个不为 0的常数与指数函数的乘积，

因此数列{an}各项所对应的点都在函数 y＝cqx的图象上．

3．等比数列{an}的前 n项和 Sn＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比 q＝C(A，B，C均不为零)

二、教材衍化

1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)

A．a1，a3，a9成等比数列　　 B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列

解析：选D．设等比数列的公比为 q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝

a1q2·a1q8，

即a＝a3·a9.

2．已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a1＋a3＝，a2＋a4＝，则 q＝________．

答案：2

3．在 9与243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为______

__．

解析：设该数列的公比为 q，由题意知，

243＝9×q3，得q3＝27，所以 q＝3.

所以插入的两个数分别为 9×3＝27，27×3＝81.

答案：27，81

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一个数列从第 2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．

(　　)

(2)三个数 a，b，c成等比数列的充要条件是 b2＝ac.(　　)

(3)满足 an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)

(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)

(5)等比数列中不存在数值为 0的项．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√

二、易错纠偏

(1)运用等比数列的前 n项和公式时，忽略 q＝1的情况；

(2)忽视等比数列的项不为 0；

(3)对等比数列项的符号不能作出正确判断．

1．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和 S3＝21，则公比 q的值是(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．－

C．1或－ D．－1或

解析：选C．当 q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当 q≠1时，得q＝－.综上，q的

值是 1或－，故选 C．

2．已知 x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，则 x的值为________．

解析：因为 x，2x＋2，3x＋3是一个等比数列的前三项，

所以(2x＋2)2＝x(3x＋3)，

即x2＋5x＋4＝0，

解得 x＝－1或x＝－4.

当x＝－1时，数列的前三项为－1，0，0，

不是等比数列，舍去．

答案：－4

3．在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则 a2和a10 的等比中项为________．

解析：设a2与a10 的等比中项为 G，

因为 a2＝4，a10＝16，

所以 G2＝4×16＝64，所以 G＝±8.

答案：±8

考点一　等比数列的基本运算(基础型)

探索并掌握等比数列的通项公式与前 n项和的公式．

核心素养：数学运算

(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前 n项和．若 a1＝1，S3

＝，则 S4＝________．

(2)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.则an＝________．

【解析】　(1)通解：设等比数列{an}的公比为 q，由a1＝1及S3＝，易知 q≠1.把a1＝1

代入 S3＝＝，得1＋q＋q2＝，解得 q＝－，所以 S4＝＝＝.

优解一：设等比数列{an}的公比为 q，因为 S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝，a1＝1，所

以1＋q＋q2＝，解得 q＝－，所以 a4＝a1·q3＝＝－，所以 S4＝S3＋a4＝＋＝.

优解二：设等比数列{an}的公比为 q，由题意易知 q≠1.设数列{an}的前 n项和 Sn＝A(1

－qn)(其中 A为常数)，则 a1＝S1＝A(1－q)＝1　①，S3＝A(1－q3)＝　②，由①②可得 A

＝，q＝－.所以 S4＝×＝.

(2)设{an}的公比为 q，由题设得

2q2＝4q＋16，即 q2－2q－8＝0.

解得 q＝－2(舍去)或q＝4.

因此{an}的通项公式为 an＝2×4n－1＝22n－1.

【答案】　(1)　(2)22n－1

解决等比数列有关问题的 2种常用思想

方程

的思想

等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程

(组)求关键量 a1和q，问题可迎刃而解

分类讨论

的思想

等比数列的前 n项和公式涉及对公比 q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前 n项

和Sn＝na1；当 q≠1时，{an}的前 n项和 Sn＝＝

1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前 4项和为 15，且 a5＝

3a3＋4a1，则 a3＝(　　)

A．16 B．8

C．4 D．2

解析：选C．设等比数列{an}的公比为 q(q＞0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋

4a1，得q4－3q2－4＝0，令q2＝t，则t2－3t－4＝0，解得 t＝4或t＝－1(舍去)，所以 q2＝

4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又 S4＝＝15，所以 a1＝1，所以 a3＝a1q2＝4.故选 C．

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