新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第3讲　导数与函数的极值、最值

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第3讲　导数与函数的极值、最值
一、知识梳理
1．函数的极值
函数 y＝f(x)在点 x＝a的函数值 f(a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；
而且在点 x＝a附近的左侧 f ′( x )<0 ，右侧 f ′( x ) ＞ 0 ，则点 a叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)
叫做函数 y＝f(x)的极小值．
函数 y＝f(x)在点 x＝b的函数值 f(b)比它在点 x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝
0；而且在点 x＝b附近的左侧 f ′( x ) ＞ 0 ，右侧 f ′( x )<0 ，则点 b叫做函数 y＝f(x)的极大值点，
f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
[提醒]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．
(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f ( a ) 为函数的最小值，f ( b ) 为函数的最大值；若函
数f(x)在[a，b]上单调递减，则 f ( a ) 为函数的最大值，f ( b ) 为函数的最小值．
[提醒]　极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的
未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极
值．
常用结论
记住两个结论
(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点．
(2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点．
二、教材衍化
1．函数 f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)
A．1－e B．－1
C．－e D．0
答案：B
2．函数 f(x)＝x3－4x＋4的极大值点为________，极大值为________．
答案：－2　
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．(　　)
1
(2)导数为零的点不一定是极值点．(　　)
(3)函数的极大值不一定比极小值大．(　　)
(4)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　)
(5)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
常见误区(1)利用极值求参数时忽略对所求参数的检验；
(2)混淆极值与极值点的概念；
(3)连续函数在区间(a，b)上不一定存在最值．
1．若函数 f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数 c的值为________．
解析：函数 f(x)＝x(x－c)2的导数为 f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值
为12－8c＋c2＝0，解得 c＝2或6，又函数 f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在 x＝
2处左侧为负，右侧为正，而当 c＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.
答案：2
2．函数 g(x)＝－x2的极值点是________，函数 f(x)＝(x－1)3的极值点________(填“存
在”或“不存在”)．
解析：结合函数图象可知 g(x)＝－x2的极值点是 x＝0.因为 f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以 f′
(x)＝0无变号零点，故函数 f(x)＝(x－1)3不存在极值点．
答案：0　不存在
3．函数 g(x)＝x2在[1，2]上的最小值和最大值分别是________，在(1，2)上的最小值和
最大值均________(填“存在”或“不存在”)．
解析：根据函数的单调性及最值的定义可得．
答案：1，4　不存在
考点一　函数的极值问题(基础型)
复习指导了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的
多项式函数的极大值、极小值．
核心素养：逻辑推理、数学运算
角度一　由图象判断函数的极值
已知函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是(　　)
A．函数 f(x)在(－∞，－4)上单调递减
B．函数 f(x)在x＝2处取得极大值
2
C．函数 f(x)在x＝－4处取得极值
D．函数 f(x)有两个极值点
【解析】　由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数 f(x)单调递增；当 x>2 时，
f′(x)<0，函数 f(x)单调递减，所以函数 f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当 x＝2
时函数取得极大值，故B正确．当 x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当 x＝2时函数
取得极大值，故D错误．故选 B．
【答案】　B
由图象判断函数 y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与 x轴的交点，可得
函数 y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数 y＝f′(x)的图象可以看出 y＝f′(x)的值的正负，从而
可得函数 y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．
角度二　求已知函数的极值
已知函数 f(x)＝ln x＋，求函数 f(x)的极小值．
【解】　f′(x)＝－＝(x>0)，
当a－1≤0，即a≤1时，f′(x)>0，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极小值．
当a－1>0，即a>1 时，由f′(x)<0，得0<x<a－1，函数 f(x)在(0，a－1)上单调递减；
由f′(x)>0，得x>a－1，函数 f(x)在(a－1，＋∞)上单调递增．f(x)极小值＝f(a－1)＝1＋ln(a
－1)．
综上所述，当a≤1时，f(x)无极小值；
当a>1 时，f(x)极小值＝1＋ln(a－1)．
利用导数研究函数极值问题的一般流程
角度三　已知函数的极值求参数值(范围)
设函数 f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为 0，求实数 a的值；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数 a的取值范围．
【解】　(1)因为 f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，
所以 f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex.
f′(2)＝(2a－1)e2.
3
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