新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲　平面向量基本定理及坐标表示

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第2讲　平面向量基本定理及坐标表示
一、知识梳理
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向
量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋ λ 2e2．
(2)基底：不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，
λa＝( λx 1， λ y 1)，|a|＝．
(2)向量坐标的求法
① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，
|AB|＝．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 ．
[提醒]　当且仅当 x2y2≠0时，a∥b与＝等价．
即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
常用结论
1．共线向量定理应关注的两点
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为 x2，y2有可能
等于 0，应表示为 x1y2－x2y1＝0.
(2)判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定．
2．两个结论
(1)已知 P为线段 AB 的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为.
(2)已知△ABC 的顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC 的重心 G的坐标为.
二、教材衍化
1．已知向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若 ma＋nb与a－2b共线，则＝(　　)
A．－ B．
C．－2 D．2
解析：选A．由向量 a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b
＝(4，－1)．由 ma＋nb与a－2b共线，得－(2m－n)＝4(3m＋2n)，所以＝－.故选 A．
2．已知▱ABCD 的顶点 A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点 D的坐标为______
__．
1
解析：设D(x，y)，则由AB＝DC，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
答案：(1，5)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)在△ABC 中，向量AB，BC的夹角为∠ABC
．
(　　)
(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的．(　　)
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b的充要条件可表示成＝.(　　)
(5)若a，b不共线，且 λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则 λ1＝λ2 ，μ1＝μ2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
常见误区(1)利用平面向量基本定理的前提是基底不能共线；
(2)由点的坐标求向量坐标忽视起点与终点致误．
1．设 O是平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC，BD 的交点，则给出下列向量组：
①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
解析：选B．平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，如图：
对于①，AD与AB不共线，可作为基底；
对于②，DA与BC为共线向量，不可作为基底；
对于③，CA与DC是两个不共线的向量，可作为基底；
对于④，OD与OB在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．
2．已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝(　　)
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
解析：选A．法一：设C(x，y)，
则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，
所以
从而BC＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选 A．
法二：AB＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选 A．
2
考点一　平面向量基本定理的应用(基础型)
了解平面向量的基本定理及其意义．
核心素养：数学运算
(1)在△ABC 中，点D，E分别在边 BC，AC 上，且BD＝2DC，CE＝3EA，若AB＝
a，AC＝b，则DE＝(　　)
A．a＋b　　　　　　　　 B．a－b
C．－a－b D．－a＋b
(2)(2020·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F分别为边
AB，BC 的中点，连接 CE，DF，交于点 G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则＝________．
【解析】　(1)DE＝DC＋CE
＝BC＋CA
＝(AC－AB)－AC
＝－AB－AC＝－a－b.
(2)由题图可设CG＝xCE(x＞0)，则CG＝x(CB＋BE)＝x＝CD＋xCB.因为CG＝λCD＋
μCB，CD与CB不共线，所以 λ＝，μ＝x，所以＝.
【答案】　(1)C　(2)
运算遵法则　基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向
量的加、减或数乘运算．一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量
间的关系．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该组基底将条件
和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分
解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．
1．在△ABC 中，P，Q分别是 AB，BC 的三等分点，且 AP＝AB，BQ＝BC，若AB＝
a，AC＝b，则PQ＝(　　)
A．a＋b　　　　　　　 B．－a＋b
3
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