新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲　排列与组合

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第2讲　排列与组合
一、知识梳理
1．排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合的定义 合成一组
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
定义 从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的
所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素
的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝C＝＝
性质 A＝n ！ ，0！＝1 C＝C，C＋C＝C
常用结论
1．“排列”与“组合”的辨析
排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺
序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合．
2．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
二、教材衍化
1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A．144　　　　　　　 B．120
C．72 D．24
解析：选D．“插空法”，先排 3个空位，形成 4个空隙供 3人选择就座，因此任何
两人不相邻的坐法种数为 A＝4×3×2＝24.
2．用数字 1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)
1
A．8 B．24
C．48 D．120
解析：选C．末位数字排法有 A种，其他位置排法有 A种，共有 AA＝48(种)排法，所
以偶数的个数为 48.
3．从 4名男同学和 3名女同学中选出 3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是(
)
A．18 B．24
C．30 D．36
解析：选C．选出的 3人中有 2名男同学 1名女同学的方法有 CC＝18 种，选出的 3人
中有 1名男同学 2名女同学的方法有 CC＝12 种，故3名学生中男女生都有的选法有 CC＋
CC＝30 种．故选 C．
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　　)
(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　　)
(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　　)
(4)若组合式 C＝C，则 x＝m成立．(　　)
(5)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
(1)分类不清导致出错；
(2)相邻元素看成一个整体，不相邻问题采用插空法是解决相邻与不相邻问题的基本方
法．
1．从 6台原装计算机和 5台组装计算机中任意选取 5台，其中至少有原装计算机和组
装计算机各 2台，则不同的取法有________种．
解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与 3台组装计算机，有CC 种方法；第二类，
取3台原装计算机与 2台组装计算机，有CC 种方法．所以满足条件的不同取法有 CC＋CC
＝350(种)．
答案：350
2．把 5件不同产品摆成一排，若产品 A与产品 B相邻，且产品 A与产品 C不相邻，则
不同的摆法有________种．
解析：设这 5件不同的产品分别为 A，B，C，D，E，先把产品 A与产品 B捆绑有 A种
摆法，再与产品 D，E全排列有 A种摆法，最后把产品 C插空有 C种摆法，所以共有 AAC
＝36(种)不同摆法．
答案：36
2
考点一　排列问题(基础型)
理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
核心素养：数学建模
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排 3人，后排 4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
【解】　(1)从7人中选 5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选 3人站前排，有A种方法，余下 4人站后排，有A种方法，共有
A·A＝5 040(种)．　
(3)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有5种方法，其余 6人有 A种排列方法，共有
5×A＝3 600(种)．　
法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另 6人中的两人，有A种排法，其他有 A种
排法，共有 AA＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排
列，有A种方法，共有 A·A＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾 5个空位中任选 3个空位安
排男生，有A种方法，共有 A·A＝1 440(种)．
求解排列应用问题的 6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元
素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
1．3本不同的数学书与 3本不同的语文书放在书架同一层，则同类书不相邻的放法种
3
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