新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲　两直线的位置关系

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第2讲　两直线的位置关系
一、知识梳理
1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系
条件 两直线位置关系 斜率的关系
两条不重合的直线 l1，l2，斜
率分别为 k1，k2
平行 k1＝ k 2
k1与k2都不存在
垂直 k1k2＝－ 1
k1与k2一个为零、另一个不存在
2.两条直线的交点
3．三种距离
点点距 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝
点线距 点P0(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
线线距 两条平行线 Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间
的距离 d＝
常用结论
1．会用两个充要条件
(1)两直线平行或重合的充要条件
直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行或重合的充要条件是 A1B2－
A2B1＝0.
(2)两直线垂直的充要条件
直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是 A1A2＋B1B2＝
0.
2．直线系方程
(1)与直线 Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是 Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线 Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是 Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为 A1x＋B1y
＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括 l2.
3．六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于 x轴的对称点为(x，－y)，关于 y轴的对称点为(－x，y)．
1
(3)点(x，y)关于直线 y＝x的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线 x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b的对称点为(x，2b－
y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
(6)点(x，y)关于直线 x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k的对称点为(k
＋y，x－k)．
二、教材衍化
1．两直线 4x＋3y＝10 与2x－y＝10 的交点坐标为________．
答案：(4，－2)
2．已知点(a，2)(a＞0)到直线 l：x－y＋3＝0的距离为 1，则 a等于________
答案：－1
3．已知直线 l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数 a的值是___
_____．　
解析：由直线 l1与l2平行，可得解得 a＝－3.
答案：－3
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当直线 l1和l2的斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2.(　　)
(2)如果两条直线 l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　)
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　)
(4)已知直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常
数)，若直线 l1⊥l2，则 A1A2＋B1B2＝0.(　　)
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
二、易错纠偏
(1)求平行线间距离忽视 x，y的系数相同；
(2)判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况．
1．两条平行直线 3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋11＝0之间的距离为(　　)
A．　　　　　　　　　　 B．
C．7 D．
解析：选D．直线 3x＋4y－12＝0可化为 6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离
为＝.
2．已知直线 l1：ax＋y－4＝0和l2：2x＋ay＋1＝0若l1⊥l2，则 a＝________．
解析：因为 l1⊥l2，则2a＋a＝0，所以 a＝0.
答案：0
2
考点一　两直线的位置关系(基础型)
能根据斜率判定两条直线平行或垂直．
核心素养　数学运算，逻辑推理
(一题多解)已知直线 l1：ax＋2y＋6＝0和直线 l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)当l1∥l2时，求 a的值；
(2)当l1⊥l2时，求 a的值．
【解】　(1)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，
l2：x＝0，l1不平行于 l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于 l2；
当a≠1且a≠0时，
两直线方程可化为 l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由l1∥l2可得解得 a＝－1.
综上可知，a＝－1.
法二：由l1∥l2知
即⇒⇒a＝－1.
(2)法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不符合；
当a≠1时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由l1⊥l2，得·＝－1⇒a＝.
法二：因为 l1⊥l2，所以 A1A2＋B1B2＝0，
即a＋2(a－1)＝0，得a＝.
(1)两直线平行、垂直的判断方法
若已知两直线的斜率存在．
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等．
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.
[提醒]　判断两条直线位置关系应注意：
〈1〉注意斜率不存在的特殊情况．
〈2〉注意 x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略
在解这类问题时，一定要“前思后想”．“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可
能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增
解或漏解．　
3
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