新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲　函数的单调性与最值

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第2讲　函数的单调性与最值
一、知识梳理
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I内某个区间 D上的任意两
个自变量的值 x1，x2
当x1<x2时，都有 f ( x 1) < f ( x 2)，那么就说
函数 f(x)在区间 D上是增函数
当x1<x2时，都有 f ( x 1) > f ( x 2)，那么就说
函数 f(x)在区间 D上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数 y＝f(x)在区间 D上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有
(严格的)单调性，区间
D
叫做函数 y＝f(x)的单调区间．
[注意]　有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，
只能用“逗号”或“和”联结．
2．函数的最值
前提 设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足
条件 (1)对于任意 x∈I，都有 f ( x ) ≤ M ；
(2)存在 x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M
(1)对于任意 x∈I，都有 f ( x ) ≥ M ；
(2)存在 x0∈I，使得 f ( x 0) ＝ M
结论 M为最大值 M为最小值
常用结论
1．函数单调性的两个等价结论
设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．
(2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．
2．函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定
在端点取到．
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．
二、教材衍化
1．函数 f(x)＝x2－2x的单调递增区间是________．
1
答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))
2．若函数 y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，则 k的取值范围是________．
解析：因为函数 y＝(2k＋1)x＋b在R上是减函数，所以 2k＋1＜0，即k＜－.
答案：
3．已知函数 f(x)＝，x∈[2，6]，则 f(x)的最大值为________，最小值为__________．
解析：可判断函数 f(x)＝在[2，6]上为减函数，所以 f(x)max＝f(2)＝2，f(x)min＝f(6)＝.
答案：2　
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若定义在 R上的函数 f(x)，有 f(－1)<f(3)，则函数 f(x)在R上为增函数．(　　)
(2)函数 y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数 f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)．(
)
(3)函数 y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)
(4)所有的单调函数都有最值．(　　)
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是
增函数．(　　)
(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
二、易错纠偏
常见误区(1)求单调区间忘记定义域导致出错；
(2)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念出错．
1．已知函数 f(x)＝，则该函数的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，1] B．[3，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[1，＋∞)
解析：选B．设 t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得 x≤－1或x≥3.所以函
数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数 t＝x2－2x－3的图象的对称轴为 x＝1，所
以函数 t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数 f(x)的单调递增区间
为[3，＋∞)．
2．若函数 f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数 m的取值范围是________．
解析：由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，
所以 m≤2.
答案：(－∞，2]
考点一　确定函数的单调性(区间)(基础型)
通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义．
2
核心素养：数学抽象
角度一　判断或证明函数的单调性
(一题多解)试讨论函数 f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解】　法一：设－1<x1<x2<1，
f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，由于－1<x1<x2<1，
所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数 f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0 时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数 f(x)在(－1，1)上单调递增．
法二：f′(x)＝
＝＝－.
当a>0 时，f′(x)<0，函数 f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0 时，f′(x)>0，函数 f(x)在(－1，1)上单调递增．
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤
[注意]　判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等．
角度二　利用函数图象求函数的单调区间
求函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋1的单调区间．
【解】　f(x)＝
＝
画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和(0，1]，单调递减区间为
(－1，0]和(1，＋∞)．
【迁移探究】　(变条件)若本例函数变为 f(x)＝|－x2＋2x＋1|，如何求解？
3
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