新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲　高效演练分层突破(9)

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[基础题组练]
1．(2020·长春市质量监测(二))等差数列{an}中，Sn是它的前 n项和，a2＋a3＝10，S6＝
54，则该数列的公差 d为(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．6
解析：选C．由题意，知解得故选 C．
2．(2020·重庆市七校联合考试)在等差数列{an}中，若 a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝55，S3＝
3，则 a5等于(　　)
A．5 B．6
C．7 D．9
解析：选C．设数列{an}的公差为 d，因为数列{an}是等差数列，所以 a3＋a5＋a7＋a9＋
a11＝5a7＝55，所以 a7＝11，又S3＝3，所以解得所以 a5＝7.故选 C．
3．已知数列{an}满足 a1＝15，且 3an＋1＝3an－2，若 ak·ak＋1＜0，则正整数 k＝(　　)
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C．3an＋1＝3an－2⇒an＋1＝an－⇒{an}是等差数列，则an＝－n.因为 ak·ak＋1＜
0，所以＜0，所以＜k＜，所以 k＝23.
4．(多选)已知无穷等差数列{an}的前 n项和为 Sn，S6＜S7，且 S7＞S8，则(　　)
A．在数列{an}中，a1最大
B．在数列{an}中，a3或a4最大
C．S3＝S10
D．当 n≥8时，an＜0
解析：选AD．由于 S6＜S7，S7＞S8，所以 S7－S6＝a7＞0，S8－S7＝a8＜0，所以数列
{an}是递减的等差数列，最大项为 a1，所以 A正确，B错，D正确；S10－S3＝a4＋a5＋…＋
a10＝7a7＞0，故C错误．
5．已知数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意 n＞1，n∈N*，满足 Sn＋1
＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　)
A．a9＝17 B．a10＝18
C．S9＝81 D．S10＝90
解析：选B．因为对于任意 n＞1，n∈N*，满足 Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，
所以 Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，所以 an＋1－an＝2.
所以数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为 2.又a1＝1，a2＝2，
则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2
＝91.故选 B．
1
6．(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和．若 a3＝5，a7＝13，则 S10＝
____________．
解析：通解：设等差数列{an}的公差为 d，则由题意，得解得所以 S10＝10×1＋×2＝
100.
优解：由题意，得公差 d＝(a7－a3)＝2，所以 a4＝a3＋d＝7，所以 S10＝＝5(a4＋a7)＝
100.
答案：100
7．(应用型)某剧场有 20 排座位，后一排比前一排多 2个座位，最后一排有 60 个座位，
则剧场总共的座位数为________．
解析：设第 n排的座位数为 an(n∈N*)，数列{an}为等差数列，其公差 d＝2，则an＝a1
＋(n－1)d＝a1＋2(n－1)．由已知 a20＝60，得60＝a1＋2×(20－1)，解得 a1＝22，则剧场总
共的座位数为＝＝820.
答案：820
8．(2020·福建龙岩期末改编)已知数列{an}的前 n项和为 Sn，a1＝1，an＋an＋1＝2n＋
1(n∈N*)，则 a20 的值为________，S21 的值为________．
解析：将n＝1代入 an＋an＋1＝2n＋1中得 a2＝3－1＝2.
由an＋an＋1＝2n＋1①，得an＋1＋an＋2＝2n＋3②.
②－①，得an＋2－an＝2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以 2为公差的等差数列，
则a21＝1＋10×2＝21，a20＝2＋9×2＝20，所以 S21＝(a1＋a3＋a5＋…＋a21)＋(a2＋a4＋
a6＋…＋a20)＝＋＝231.
答案：20　231
9．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和．已知 S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1＞0，求使得 Sn≥an的n的取值范围．
解：(1)设{an}的公差为 d，
由S9＝－a5得a1＋4d＝0，
由a3＝4得a1＋2d＝4，
于是 a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为 an＝10－2n.
(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.
由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等价于 n2－11n＋10≤0，解得 1≤n≤10.
所以 n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．
10．已知等差数列的前三项依次为 a，4，3a，前 n项和为 Sn，且 Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)已知数列{bn}满足 bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前 n项和 Tn.
2
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