新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲　高效演练分层突破(6)

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[基础题组练]
1．已知直线 a和平面 α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且 a在α，β内的射影分别为直线
b和c，则直线 b和c的位置关系是(　　)
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
解析：选D．依题意，直线 b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．故选 D．
2．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．梯形一定是平面图形
B．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行
C．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
D．若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合
解析：选 AC．对于 A，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，
故A正确；对于 B，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相
交，故B错误；对于 C，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，故C正确；对于
D，若两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故D错误．
3．已知直线 a，b分别在两个不同的平面 α，β内，则“直线 a和直线 b相交”是“平
面α和平面 β相交”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A．若直线 a，b相交，设交点为 P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以
P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．
故“直线 a和直线 b相交”是“平面 α和平面 β相交”的充分不必要条件．
4. (多选)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，O是DB 的中点，直线 A1C交平面 C1BD
于点 M，则下列结论正确的是(　　)
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A1，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
解析：选 ABC．连接 A1C1，AC，则AC∩BD＝O，又A1C∩平面 C1BD＝M，所以三点
C1，M，O在平面 C1BD 与平面 ACC1A1的交线上，所以 C1，M，O三点共线，所以选项
1
A，B，C均正确，选项 D错误．
5. (2020·内蒙古集宁一中四模)如图，在四面体 ABCD 中，E，F分别是 AC，BD 的中点，
若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则 EF 与CD 所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选A．取 CB 的中点 G，连接 EG，FG.则EG∥AB，FG∥CD.所以 EF 与CD 所
成的角为∠EFG(或其补角)，因为 EF⊥AB，所以 EF⊥EG.
EG＝AB＝1，FG＝CD＝2，
所以在 Rt△EFG 中，sin∠EFG＝，所以 EF 与CD 所成的角为 30°.故选 A．
6．已知棱长为 a的正方体 ABCDA′B′C′D′中，M，N分别为 CD，AD 的中点，则 MN 与
A′C′的位置关系是_______________________________．
解析：如图，由题意可知 MN∥AC.又因为 AC∥A′C′，所以 MN∥A′C′.
答案：平行
7．给出下列四个命题：
① 平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
② 若平面 α内的一条直线 a与平面 β内的一条直线 b相交，则 α与β相交；
③ 若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；
④ 若三条直线两两相交，则这三条直线共面．
其中真命题的序号是________．
解析：①正确，因为直线在平面外即直线与平面相交或直线平行于平面，所以最多有
2
一个公共点．②正确，a，b有交点，则两平面有公共点，则两平面相交．③正确，两平行
直线可确定一个平面，又直线与两平行直线的两交点在这两平行直线上，所以过这两交点
的直线也在平面内，即三线共面．④错误，这三条直线可以交于同一点，但不在同一平面
内．
答案：①②③
8．如图，四边形 ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直
线AP 与BD 所成的角为________．
解析：如图，将原图补成正方体 ABCDQGHP，连接 AG，GP，则GP∥BD，所以
∠APG 为异面直线 AP 与BD 所成的角，在△AGP 中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝.
答案：
9．如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O为正方形 ABCD 的中心，H为直线 B1D与平
面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．
证明：如图，连接 BD，B1D1，则BD∩AC＝O，
因为 BB1\s\do3(═)DD1，
所以四边形 BB1D1D为平行四边形，
又H∈B1D，
B1D⊂平面 BB1D1D，
则H∈平面 BB1D1D，
3
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