新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲　等差数列及其前n项和

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第2讲　等差数列及其前 n项和
一、知识梳理
1．等差数列与等差中项
(1)定义：
① 文字语言：一个数列从第
2
项 起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；
② 符号语言：an＋1－ a n＝ d (n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：若三个数 a，A，b组成等差数列，则 A
叫做 a，b的等差中项．
2．等差数列的通项公式与前 n项和公式
(1)通项公式：an＝a1＋ ( n － 1) d ．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．
3．等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前 n项和．
(1)通项公式的推广：an＝am＋( n － m ) d (n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋ a l＝ a m＋ a n．
(3)若{an}的公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2 d ．
(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
常用结论
1．等差数列与函数的关系
(1)通项公式：当公差 d≠0时，等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关
于n的一次函数，且一次项系数为公差 d.若公差 d＞0，则为递增数列，若公差 d＜0，则为
递减数列．
(2)前n项和：当公差 d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于 n的二次函数且常数项为 0.
2．两个常用结论
(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
①若项数为 2n，则S偶－S奇＝nd，＝；
②若项数为 2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前 n项和 Sn，Tn之间的关系为＝.
二、教材衍化
1．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第 100 项为________．
解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为 5，所以 a100＝－8＋99×5＝487.
答案：487
2．在等差数列{an}中，若 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则 a2＋a8＝________．
解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以 a5＝90，所以 a2＋
1
a8＝2a5＝180.
答案：180
3．已知等差数列 5，4，3，…，则前 n项和 Sn＝________．
解析：由题知公差 d＝－，所以 Sn＝na1＋d＝(75n－5n2)．
答案：(75n－5n2)
4．设数列{an}是等差数列，其前 n项和为 Sn，若 a6＝2且S5＝30，则 S8＝________．
解析：由已知可得
解得所以 S8＝8a1＋d＝32.
答案：32
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数
列．(　　)
(2)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数
列．(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n的一次函数．(　　)
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an＋an＋2.(　　)
(5)等差数列{an}的单调性是由公差 d决定的．(　　)
(6)等差数列的前 n项和公式是常数项为 0的二次函数．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
二、易错纠偏
(1)等差数列概念中的两个易误点，即同一个常数与常数；
(2)错用公式致误；
(3)错用性质致误．
1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前 9项和等于________．
解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为 1，公差为的等差数列，故
S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.
答案：27
2．首项为 30 的等差数列{an}，从第 8项开始为负数，则公差 d的取值范围是________．
解析：由题意知 a1＝30，a8＜0，a7≥0.即解得－5≤d＜－.
答案：
3．设数列{an}的通项公式为 an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．
解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由 an＝2n
－10≥0得n≥5，所以 n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1
＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
答案：130
2
考点一　等差数列的基本运算(基础型)
探索并掌握等差数列的通项公式与前 n项和公式．
核心素养：数学运算
(1)(2020·福州市质量检测)已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1.若数列为等差数列，则
a9＝(　　)
A．　　　　　　　　　 B．
C． D．－
(2)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前 n项和，已知 S4＝0，a5＝
5，则(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
【解析】　(1)因为数列为等差数列，a3＝2，a7＝1，
所以数列的公差 d＝＝＝，所以＝＋(9－7)×＝，所以 a9＝，故选 C．
(2)法一：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
因为所以解得所以 an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选
A．
法二：设等差数列{an}的公差为 d，
因为所以解得
选项 A，a1＝2×1－5＝－3；
选项 B，a1＝3×1－10＝－7，排除 B；
选项 C，S1＝2－8＝－6，排除 C；
选项 D，S1＝－2＝－，排除 D．故选 A．
【答案】　(1)C　(2)A
等差数列的基本运算的解题策略
(1)等差数列的通项公式及前 n项和公式共涉及五个量 a1，an，d，n，Sn，知其中三个
就能求另外两个，体现了方程思想．
(2)数列的通项公式和前 n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数
列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．　
1．(一题多解)(2020·惠州市第二次调研)已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 a2＋a3
＋a4＝15，a7＝13，则 S5＝(　　)
A．28 B．25
3
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