新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲　导数与函数的单调性

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第2讲　导数与函数的单调性
一、知识梳理
函数的单调性与导数的关系
条件 结论
函数 y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增
f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减
f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数
常用结论
理清三组关系
(1)“在某区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数 f(x)在此区间上为增(减)函数”的充分不必
要条件．
(2)可导函数 f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有 f′(x)≥0(f′
(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零．
(3)对于可导函数 f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数 f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
二、教材衍化
1．如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是(　　)
A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数
B．在区间(1，3)上f(x)是减函数
C．在区间(4，5)上f(x)是增函数
D．当 x＝2时，f(x)取到极小值
解析：选C．在(4，5)上f′(x)>0 恒成立，
所以 f(x)是增函数．
2．函数 y＝4x2＋的单调增区间为(　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　 B．(，＋∞)
C．(－∞，－1) D．
解析：选B．由 y＝4x2＋，得y′＝8x－，
令y′>0，即8x－>0，解得 x>，
所以函数 y＝4x2＋的单调增区间为.
故选 B．
3．已知定义在区间(－π，π)上的函数 f(x)＝xsin x＋cos x，则 f(x)的单调递增区间是___
1
_____．
解析：f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
令f′(x)＝xcos x>0，则其在区间(－π，π)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.
答案：和
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.(　　)
(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性．(　　)
答案：(1)×　(2)√
二、易错纠偏
常见误区(1)判断导数值的正负时忽视函数值域这一隐含条件；
(2)讨论函数单调性时，分类标准有误．
1．函数 f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　)
A．先增后减　　　　　　
B．先减后增
C．增函数
D．减函数
解析：选D．因为 f′(x)＝－sin x－1<0.
所以 f(x)在(0，π)上是减函数，故选 D．
2．已知函数 f(x)＝ln x＋a(1－x)，讨论 f(x)的单调性．
解：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0 恒成立，
所以 f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a>0，则当 x∈时，f′(x)>0；x∈时，
f′(x)<0，所以 f(x)在上单调递增，在上单调递减．
考点一　判断(证明)函数的单调性(基础型)
复习指导借助图象探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单
调性．
核心素养：数学抽象、逻辑推理
(1)已知函数 f(x)＝xln x，则f(x)(　　)
A．在(0，＋∞)上单调递增
B．在(0，＋∞)上单调递减
C．在上单调递增
2
D．在上单调递减
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数 f(x)＝2x3－ax2＋2.讨论 f(x)的单调性．
【解】　(1)选D．因为函数 f(x)＝xln x，定义域为 (0 ，＋∞ )，所以 f′(x)＝ln x＋
1(x>0)，
当f′(x)>0 时，解得 x>，
即函数 f(x)的单调递增区间为；
当f′(x)<0 时，
解得 0<x<，
即函数 f(x)的单调递减区间为，故选 D．
(2)f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当 x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，0)，
单调递增，在单调递减．
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．
若a<0，则当 x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当 x∈时，f′(x)<0.故f(x)在，(0，＋∞)单调递
增，在单调递减．
导数法证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求f′(x)．
(2)确认 f′(x)在(a，b)内的符号．
(3)作出结论：f′(x)>0 时为增函数；f′(x)<0 时为减函数.
[提醒]　研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行
分类讨论．
　已知函数 f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)，讨论 f(x)的单调性．
解：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，
令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝，
①若a＝1，则f′(x)≥0恒成立，所以 f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
②若0<a<1，则>1，
当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数；
③若a>1，则0<<1，
3
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