新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

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第2讲　充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

一、知识梳理

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则 p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇒p

p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p

p是q的充要条件 p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件 p⇒q且q⇒p

[注意]　不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，

才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．

2．全称命题和特称命题

(1)全称量词和存在量词

量词名称常见量词符号表示

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等 ∀

存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等 ∃

(2)全称命题和特称命题

　　名称

形式　　全称命题特称命题

结构对M中任意一个 x，有 p(x)成立存在 M中的一个 x0，使 p(x0)成立

简记 ∀ x ∈ M ，p(x)∃ x 0∈ M ，p(x0)

否定 ∃ x 0∈ M ，﹁p(x0)∀ x ∈ M ，﹁p(x)

常用结论

1．从集合的角度理解充分条件与必要条件

若p以集合 A的形式出现，q以集合 B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关

于充分条件，必要条件又可以叙述为：

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；

(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；

(3)若A＝B，则p是q的充要条件；

(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；

(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；

(6)若A⊆B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

2．全称命题与特称命题的否定

(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再

对量词进行改写．

(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．

二、教材衍化

1．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：选B．若 x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)

＝0，则x的值也可能为－2.故选 B．

2．命题“∃x0∈R，log2x0＋2<0”的否定是________________________．

答案：∀x∈R，log2x＋2≥0

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)

(2)q不是 p的必要条件时，“p⇒ q”成立．(　　)

(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．(　　)

(4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，﹁ p(x)的真假性相反．(　　)

答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

二、易错纠偏

(1)全称命题或特称命题的否定出错；

(2)对充分必要条件判断错误．

1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是__________________________．

答案：存在两个全等三角形的面积不相等

2．设 x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)2≤1”的________条件．

答案：必要不充分

考点一　全称命题与特称命题(基础型)

理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

核心素养：数学抽象

1．(2020·西安模拟)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)

A．∃x＜0，≤0 B．∃x＞0，0≤x≤1

C．∀x＞0，≤0 D．∀x＜0，0≤x≤1

解析：选B．因为＞0，所以 x＜0或x＞1，所以＞0的否定是 0≤x≤1，所以命题的否

定是∃x＞0，0≤x≤1，故选 B．

2．下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，ex＞0 B．∀x∈N，x2＞0

C．∃x0∈R，ln x0＜1 D．∃x0∈N*，sin x0＝1

解析：选B．对于 B．当 x＝0时，x2＝0，因此 B中命题是假命题．

3．已知命题 p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx 是增函数，则﹁p为　(　　)

A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx 是减函数

B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx 是减函数

C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx 不是增函数

D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx 不是增函数

解析：选D．由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx 不是增函数”．

4．(2020·宁夏石嘴山期中)若命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数 a的取值

范围是______．

解析：因为命题“∃t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“∀t∈R，t2－2t－a≥0”

为真命题，所以 Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.

答案：(－∞，－1]

(1)全称命题与特称命题的否定

①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再

对量词进行改写；

②否定结论：对原命题的结论进行否定．

(2)全称命题与特称命题真假的判断方法

命题名称真假判断方法一判断方法二

全称命题真所有对象使命题为真否定为假

假存在一个对象使命题为假否定为真

特称命题真存在一个对象使命题为真否定为假

假所有对象使命题为假否定为真

[提醒]　因为命题 p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，若其

真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．

考点二　充分条件、必要条件的判断(基础型)

理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．

核心素养：逻辑推理

(1)(2020·烟台模拟)已知 a，b都是实数，那么“b>a>0”是“>”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

(2)(2020·佛山模拟)已知 p：x＝2，q：x－2＝，则 p是q的(　　)

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