新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程

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第1讲　直线的倾斜角与斜率、直线方程
一、知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线 l与x轴相交时，取 x轴作为基准，x轴正向与直线 l向上方向之间所
成的角叫做直线 l的倾斜角．
(2)规定：当直线 l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0°．
(3)范围：直线 l的倾斜角的范围是[0 ， π) ．
2．直线的斜率
(1)直线 l的倾斜角为 α≠，则 l的斜率 k＝tan_α．
(2)两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l上，且 x1≠x2，则 l的斜率 k＝．
3．直线方程的五种形式
名称 方程形式 适用条件
点斜式 y － y 0＝ k ( x － x 0)不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y＝kx＋b
两点式 ＝ 不能表示平行于坐标轴的直线
截距式 ＋＝1不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的
直线
一般式 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A ， B
不同时为零 ) 可以表示所有类型的直线
常用结论
1．直线的倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率．
(2)不是倾斜角越大，斜率 k就越大，因为 k＝tan α，当α∈时，α越大，斜率 k就越大，
同样 α∈时也是如此，但当 α∈[0，π)且α≠时就不是了．
2．识记几种特殊位置的直线方程
(1)x轴：y＝0.
(2)y轴：x＝0.
(3)平行于 x轴的直线：y＝b(b≠0)．
(4)平行于 y轴的直线：x＝a(a≠0)．
(5)过原点且斜率存在的直线：y＝kx.
1
二、教材衍化
1．经过点 P(2，－3)，倾斜角为 45°的直线方程为________．
答案：x－y－5＝0
2．经过点 A(－1，0)，B(2，－2)两点的直线方程为________．
答案：2x＋3y＋2＝0
3．若过点 M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则 m的值为________．
解析：由题意得＝1，解得 m＝1.
答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　　)
(2)直线的斜率为 tan α，则其倾斜角为 α.(　　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　)
(4)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0)表示．(　　)
(5)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x
－x1)(y2－y1)表示．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易错纠偏
(1)对倾斜角的取值范围不清楚；
(2)忽略截距为 0的情况．
1．直线 x＋y＋1＝0的倾斜角是(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D．由直线的方程得直线的斜率为 k＝－，设倾斜角为 α，则tan α＝－，所以
α＝.
2．过点 P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．
解析：当纵、横截距均为 0时，直线方程为 3x－2y＝0；当纵、横截距均不为 0时，设
直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得 a＝5.所以直线方程为 x＋y－5＝0.
答案：3x－2y＝0或x＋y－5＝0
考点一　直线的倾斜角与斜率(基础型)
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
核心素养：数学抽象，数学运算
(1)直线 xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
2
A． B．∪
C． D．∪
(2)直线 l过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线 l斜率
的取值范围为________．
【解析】　(1)设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ＝－sin α.因为 sin α∈[－1，1]，所以－
1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以 0≤θ≤或≤θ＜π，故选 B．
(2)如图，因为 kAP＝＝1，kBP＝＝－，
所以直线 l的斜率 k∈∪.
【答案】　(1)B
(2)∪
【迁移探究 1】　(变条件)若本例(1)的条件变为：直线 2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变
化范围为________．
解析：直线 2xcos α－y－3＝0的斜率 k＝2cos α.由于 α∈，所以≤cos α≤，因此 k＝
2cos α∈[1，]．设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1，]．由于 θ∈[0，π)，所以 θ∈，即倾
斜角的变化范围是.
答案：
【迁移探究 2】　(变条件)若将本例(2)中P(1，0)改为 P(－1，0)，其他条件不变，求直
线l斜率的取值范围．
解：因为 P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，所以 kAP＝＝，kBP＝＝.
由图可知，直线 l斜率的取值范围为.
(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤
①求出斜率 k＝tan α的取值范围；
②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角 α的取值范围．
求倾斜角时要注意斜率是否存在．
(2)斜率的求法
①定义法：若已知直线的倾斜角 α或α的某种三角函数值，一般根据 k＝tan α求斜率；
②公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 k＝(x1≠x2)求斜
3
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