新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第1讲　随机抽样、用样本估计总体

3.0 envi 2025-04-11 5 4 1MB 15 页 3知币

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第1讲　随机抽样、用样本估计总体

一、知识梳理

1．随机抽样

(1)简单随机抽样

① 定义：一般地，设一个总体含有 N个个体，从中逐个不放回地抽取 n个个体作为样

本(n≤N)，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就称这样的抽样方法为

简单随机抽样．

② 常用方法：抽签法和随机数法．

(2)分层抽样

① 定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地

抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽

样．

② 适用范围：适用于总体由差异比较明显的几个部分组成时．

2．统计图表

(1)频率分布直方图的画法步骤

① 求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；

② 决定组距与组数；

③ 将数据分组；

④ 列频率分布表；

⑤ 画频率分布直方图．

(2)频率分布折线图和总体密度曲线

① 频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布

折线图；

② 总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频

率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．

3．样本的数字特征

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．

(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数

据的平均数)叫做这组数据的中位数．

(3)平均数：把称为 a1，a2，…，an这n个数的平均数．

(4)标准差与方差：设一组数据 x1，x2，x3，…，xn的平均数为x，则这组数据的标准差

和方差分别是

s＝，

s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．

常用结论

1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率是相同的．

2．会用三个关系

频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系

(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．

(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．

(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积

乘以小长方形底边中点的横坐标之和．

3．巧用四个有关的结论

(1)若x1，x2，…，xn的平均数为x，那么 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为 mx

＋a；

(2)数据 x1，x2，…，xn与数据 x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a 的方差相等，即

数据经过平移后方差不变；

(3)若x1，x2，…，xn的方差为 s2，那么 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为 a2s2；

(4)s2＝∑ (xi－x)2＝∑x－x2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．

二、教材衍化

1．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一 2 400 人、高二 2 000 人、

高三 n人中，抽取 90 人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为 36，那么高三被抽取的人

数为________．

解析：由分层抽样可得×90＝36，则n＝1 600，所以高三被抽取的人数为×90＝24.

答案：24

2．已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________．

答案：

3．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取 40 个检测，如图是根据抽样检测后零件

的质量(单位：克)绘制的频率分布直方图，样本数据分 8组，分别为[80，82)，[82，84)，

[84，86)，[86，88)，[88，90)，[90，92)，[92，94)，[94，96]，则样本的中位数在第_____

___组．

解析：由题图可得，前四组的频率为(0.037 5＋0.062 5＋0.075＋0.1)×2＝0.55，则其频

数为 40×0.55＝22，且第四组的频数为 40×0.1×2＝8，故中位数落在第 4组．

答案：4

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．(　　)

(2)在抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．(　　)

(3)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．(　　)

(4)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越大．

(　　)

(5)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直

观．(　　)

(6)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数的估计值．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√　(6)√

二、易错纠偏

(1)随机数表法的规则不熟出错；

(2)频率分布直方图识图不清；

1．假设要考察某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现用随机数法从 500 支疫苗中

抽取 50 支进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将 500 支疫苗按000，001，…，499 进

行编号，若从随机数表第 7行第 8列的数开始向右读，则抽取的第 3支疫苗的编号为_____

___．(下面摘取了随机数表的第 7行至第9行)

84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67

21 76 33 50 25　83 92 12 06 76

63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75

12 86 73 58 07　44 39 52 38 79

33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38

15 51 00 13 42　99 66 02 79 54

解析：由题意得，从随机数表第 7行第 8列的数开始向右读，符合条件的前三个编号

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