新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第1讲　平面向量的概念及线性运算

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第1讲　平面向量的概念及线性运算
一、知识梳理
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为 0
的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于 1
个单位 的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
[注意]　(1)向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向．
(2)任意向量 a的模都是非负实数，即|a|≥0.
2．向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律
加法 求两个向量和的运算
交换律：a＋b＝b ＋ a ；
结合律：(a＋b)＋c＝a ＋
( b ＋ c )
减法 求a与b的相反向量－b
的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数 λ与向量 a的积
的运算
|λ a|＝| λ || a | ， 当 λ>0
时，λa与a的方向相同；
当λ<0 时，λa与 a的方向
相反；
当λ＝0时，
λ a＝0
λ(μ a)＝( λμ ) a ；
(λ＋μ)a＝λ a ＋ μ _a；
λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b
3.向量共线定理
向量 b与非零向量 a共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b ＝ λ a ．
常用结论
1
1．两特殊向量
(1)零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模是确定的，但方向不确定．
(2)非零向量 a的同向单位向量为.
2．几个重要结论
(1)若P为线段 AB 的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．
(2)OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点 A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
(3)若G为△ABC 的重心，则有
①GA＋GB＋GC＝0；②AG＝(AB＋AC)．
二、教材衍化
1． 已 知 ▱ABCD 的对角线 AC 和BD 相交于点 O，且OA ＝a，OB ＝b，则DC ＝
________，BC＝________．(用a，b表示)
解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.
答案：b－a　－a－b
2．在平行四边形 ABCD 中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形 ABCD 的形状为______
__．
解析：如图，因为AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB，所以|AC|＝|DB|.由对角线长相等的平
行四边形是矩形可知，四边形 ABCD 是矩形．
答案：矩形
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)
(2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(　　)
(3)若向量AB与向量CD是共线向量，则 A，B，C，D四点在一条直线上．(　　)
(4)当两个非零向量 a，b共线时，一定有 b＝λa，反之成立．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、易错纠偏
(1)对向量共线定理认识不准确；
(2)向量的减法忽视两向量的方向关系致误．
1．对于非零向量 a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
2
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A．若 a＋b＝0，则a＝－b，所以 a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故
前者是后者的充分不必要条件．
2．点 D是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD＝(　　)
A．－BC＋BA B．－BC－BA
C．BC－BA D．BC＋BA
答案：A
考点一　平面向量的有关概念(基础型)
了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．
核心素养：数学抽象
1．给出下列命题：
①向量AB的长度与向量BA的长度相等；
②向量 a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；
④若非零向量 a与非零向量 b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．
其中叙述错误的命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C．对于②：当 a＝0时，不成立；对于③：当 a，b之一为零向量时，不成
立；对于④：当 a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与 a，b的方向都不相同．故选
C．
2．设 a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C．因为向量的方向与向量 a相同，向量的方向与向量 b相同，且＝，所以
向量 a与向量 b方向相同，故可排除选项 A，B，D．
当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．
3．下列与共线向量有关的命题：
① 相反向量就是方向相反的向量；
②a与b同向，且|a|＞|b|，则 a＞b；
③ 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件．
其中错误命题的序号为________．
解析：因为相反向量是方向相反，大小相等的两个向量，所以命题①是错误的；因为
向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以命题②是错误的
3
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