新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第1讲　空间几何体的结构、表面积与体积

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第1讲　空间几何体的结构、表面积与体积
一、知识梳理
1．空间几何体的结构特征
2．直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：①原图形中 x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为 45°( 或
135°)，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平
行于坐标轴．平行于 x轴和 z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y轴的线段长度
在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面展开图
侧面积公式 S圆柱侧＝2π rl S圆锥侧＝π rl S圆台侧＝π( r ＋ r ′) l
1
4.空间几何体的表面积与体积公式
表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S
底
h
锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝S
底
h
台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h
球S＝4π R 2
V＝π R 3
常用结论
1.特殊的四棱柱
――→――→――→――→――→
上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}
{平行六面体}{四棱柱}．
2．斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
3．正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为 a，球的半径为 R，
(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；
(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；
(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
二、教材衍化
1．在如图所示的几何体中，是棱柱的为________．(填写所有正确的序号)
答案：③⑤
2．已知圆锥的表面积等于 12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为___
_____cm.
解析：由题意，得S表＝πr2＋πrl ＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π ，解得 r2＝4，所以 r＝
2(cm)．
答案：2
3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积
与剩下的几何体体积的比为________．
2
解析：设长方体的相邻三条棱长分别为 a，b，c，它截出棱锥的体积 V1＝××a×b×c
＝abc，剩下的几何体的体积 V2＝abc－abc＝abc，所以 V1∶V2＝1∶47.
答案：1∶47
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　　)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　　)
(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．(　　)
(4)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　　)
(5)菱形的直观图仍是菱形．(　　)
(6)多面体的表面积等于各个面的面积之和．(　　)
(7)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．(　　)
(8)长方体既有外接球又有内切球．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√　(7)√　(8)×
二、易错纠偏
(1)对空间几何体的结构特征认识不到位；
(2)锥体的高与底面不清楚致误；
(3)不会分类讨论致误．
1．下列结论中错误的是(　　)
A．由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B．正棱台的对角面一定是等腰梯形
C．圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线
D．各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
解析：选A．由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以 A选项错误．B，C，D说法
均正确．
2．如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的体积是 120，E为CC1的中点，则三棱锥 EBCD 的
体积是________．
解析：设长方体中 BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，
所以 VEBCD＝×ab×c＝abc＝10.
答案：10
3．将一个相邻边长分别为 4π，8π 的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是_____
___．
3
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