新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第1讲　集合的概念与运算

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第1讲　集合的概念与运算
一、知识梳理
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋)Z Q R
[注意]　N为自然数集(即非负整数集)，包含 0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正
整数集，不包含 0.
2．集合间的基本关系
　 表示
关系 　自然语言 符号语言 Venn 图
子集 集合 A中所有元素都在集合 B中
(即若 x∈A，则 x∈B)A ⊆ B ( 或
B ⊇ A )
真子集 集合 A是集合 B的子集，且集合 B
中至少有一个元素不在集合 A中A B ( 或
B A )
集合相等 集合 A，B中元素相同 A＝B
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形语言
符号语言 A∪B＝{ x | x ∈ A
或
x ∈ B } A∩B＝{ x | x ∈ A
且
x ∈ } B ∁UA＝{ x | x ∈ U
且
x ∉ A }
常用结论三种集合运用的性质
(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A
．
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B
．
1
(3) 补 集 的 性 质 ： A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝
(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
二、教材衍化
1．若集合 P＝{x∈N|x≤}，a＝2，则(　　)
A．a∈P B．{a}∈P
C．{a}⊆P D．a∉P
解析：选D．因为 a＝2不是自然数，而集合 P是不大于的自然数构成的集合，所以
a∉P.故选 D．
2．设集合 A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合 A∩Z中元素的个数是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C．A中包含的整数元素有－2，－1，0，1，2，共5个，所以 A∩Z中的元
素个数为 5.
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合 A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则 A，B，C表示同一个集
合．(　　)
(2)若a在集合 A中，则可用符号表示为 a⊆A
．
(　　)
(3)若AB，则 A⊆B且A≠B
．
(　　)
(4)N*NZ.(　　)
(5)若A∩B＝A∩C，则 B＝C
．
(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
二、易错纠偏
常见误区(1)忽视集合中元素的互异性致错；
(2)集合运算中端点取值致错；
(3)忘记空集的情况导致出错．
1．已知集合 U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁UA＝________．
解析：因为 A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁UA＝{－1}．
答案：{－1}
2．已知集合 A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则 A∩B＝________，A∪B＝
________，(∁RA)∪B＝________.
解析：由已知得 A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}，
所以 A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁RA)∪B＝{x|x≤1或x>2}．
答案：(2，3)　(1，4)　(－∞，1]∪(2，＋∞)
3．已知集合 M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若 M∩N＝N，则实数 a的值是____
____．
2
解析：易得 M＝{a}．因为 M∩N＝N，
所以 N⊆M，
所以 N＝∅或N＝M，
所以 a＝0或a＝±1.
答案：0或1或－1
考点一　集合的概念(基础型)
复习指导 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
2．能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感
受集合语言的意义和作用．
核心素养：数学抽象
1．设集合 A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．无数个
解析：选C．依题意有 A＝{－2，－1，0，1，2}，代入 y＝x2＋1得到 B＝{1，2，5}，
故B中有 3个元素．
2．设 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则 b－a＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C．因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以 a＋b＝0，则＝－1，所以 a＝－1，b
＝1.所以 b－a＝2.
3．已知集合 A＝{x∈N|1＜x＜log2k}，集合 A中至少有 3个元素，则 k的取值范围为__
______．
解析：因为集合 A中至少有 3个元素，所以 log2k＞4，所以 k＞24＝16.
答案：(16，＋∞)
4．已知集合 A＝{m＋2，2m2＋m}，若 3∈A，则 m的值为________．
解析：由题意得 m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
与集合中元素有关问题的求解策略
3
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