新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第1讲　高效演练分层突破(8)

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[基础题组练]
1．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则 a＝b
B．若 A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形 ABCD 为平行四边
形”的充要条件
C．若 a＝b，b＝c，则 a＝c
D．若 a∥b，b∥c，则 a∥c
解析：选BC．A不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．
B正确，由AB＝DC得|AB|＝|DC|且AB∥DC，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四
边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则AB∥DC且方向相同，
且|AB|＝|DC|，因此AB＝DC.故“AB＝DC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件．
C正确，因为 a＝b，所以 a，b的长度相等且方向相同；又 b＝c，则b，c的长度相等
且方向相同，所以 a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
D不正确，当b＝0时不成立．
2．向量 e1，e2，a，b在正方形网格中的位置如图所示，则 a－b＝(　　)
A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
解析：选C．结合图形易得，a＝－e1－4e2，b＝－2e1－e2，故a－b＝e1－3e2.
3．已知平面内一点 P及△ABC，若PA＋PB＋PC＝AB，则点 P与△ABC 的位置关系是
(　　)
A．点 P在线段 AB 上 B．点 P在线段 BC 上
C．点 P在线段 AC 上 D．点 P在△ABC 外部
解析：选C．由PA＋PB＋PC＝AB，得PA＋PB＋PC＝PB－PA，即PC＝－2PA，故点 P
在线段 AC 上．
4．(2020· 唐山二模)已 知 O是正方形 ABCD 的中心．若DO ＝λAB ＋μAC ， 其 中
λ，μ∈R，则＝(　　)
A．－2 B．－
C．－ D．
解析：选A．DO＝DA＋AO＝CB＋AO＝AB－AC＋AC＝AB－AC，所以 λ＝1，μ＝－，
因此＝－2.
1
5．(多 选 )设a，b是 不 共 线 的 两 个 平 面 向 量 ， 已 知 PQ ＝a＋sin α·b， 其 中
α∈(0，2π)，QR＝2a－b.若P，Q，R三点共线，则角 α的值可以为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选CD．因为 a，b是不共线的两个平面向量，所以 2a－b≠0.即QR≠0，因为
P，Q，R三点共线，所以PQ与QR共线，所以存在实数 λ，使PQ＝λQR，所以 a＋sin α·b＝
2λa－λb，所以解得 sin α＝－.又α∈(0，2π)，故α可为或.
6．已知平面内四点 A，B，C，D，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则 λ的值为_______
_．
解析：依题意知点 A，B，D三点共线，于是有＋λ＝1，λ＝.
答案：
7．若|AB|＝8，|AC|＝5，则|BC|的取值范围是________．
解析：BC＝AC－AB，当AB，AC同向时，|BC|＝8－5＝3；当AB，AC反向时，|BC|＝8
＋5＝13；当AB，AC不共线时，3<|BC|<13.综上可知 3≤|BC|≤13.
答案：[3，13]
8．已知 D，E，F分别为△ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且BC＝a，CA＝b，给出
下列命题：①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.
其中正确命题的个数为________．
解析：BC＝a，CA＝b，AD＝CB＋AC＝－a－b，故①错；
BE＝BC＋CA＝a＋b，故②正确；
CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)
＝－a＋b，故③正确；
所以AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.故④正确．
所以正确命题的序号为②③④.
答案：3
9.在△ABC 中，D，E分别为 BC，AC 边上的中点，G为BE 上一点，且 GB＝2GE，设
AB＝a，AC＝b，试用 a，b表示AD，AG.
解：AD＝(AB＋AC)＝a＋b；
AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.
10．如图，EF 是等腰梯形 ABCD 的中位线，M，N是EF 上的两个三等分点，若AB＝
a，BC＝b，AB＝2DC.
2
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