新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第1讲　高效演练分层突破(6)

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[基础题组练]
1．下列说法正确的有(　　)
① 两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
② 经过球面上不同的两点只能作一个大圆；
③ 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
④ 圆锥的轴截面是等腰三角形．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A．①中若两个底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保证侧棱会交
于一点，所以①不正确；②中若球面上不同的两点恰为球的某条直径的两个端点，则过此
两点的大圆有无数个，所以②不正确；③中底面不一定是正方形，所以③不正确；很明显
④是正确的．
2．圆柱的底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是(　　)
A．4πS B．2πS
C．πS D．πS
解析：选A．由 πr2＝S得圆柱的底面半径是，故侧面展开图的边长为 2π·＝2，所以圆
柱的侧面积是 4πS，故选 A．
3．如图所示，在三棱台 A′B′C′ABC 中，沿 A′BC 截去三棱锥 A′ABC，则剩余的部分是(
)
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．组合体
解析：选B．如图所示，在三棱台 A′B′C′ABC 中，沿A′BC 截去三棱锥 A′ABC，剩余部
分是四棱锥 A′BCC′B′.
4．(2020·安徽合肥质检)已知圆锥的高为 3，底面半径为 4.若一球的表面积与此圆锥侧
面积相等，则该球的半径为(　　)
A．5 B．
C．9 D．3
1
解析：选B．因为圆锥的底面半径 r＝4，高h＝3，所以圆锥的母线 l＝5，所以圆锥的
侧面积 S＝πrl＝20π，设球的半径为 R，则4πR2＝20π，所以 R＝，故选 B．
5．(2020·辽宁沈阳东北育才学校五模)将半径为 3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则
该圆锥的内切球的表面积为(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：选B．将半径为 3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆半径为 R，
则有 2πR＝3×，所以 R＝1.设圆锥的内切球半径为 r，圆锥的高为 h，内切球球心必在圆锥
的高线上，因为圆锥的母线长为 3，所以 h＝＝2，所以有＝，解得 r＝，因此内切球的表面
积S＝4πr2＝2π.
6．有一个长为 5 cm，宽为 4 cm 的矩形，则其直观图的面积为________．
解析：由于该矩形的面积 S＝5×4＝20(cm2)，所以其直观图的面积 S′＝S＝5(cm2)．
答案：5 cm2
7．一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和8 cm，若两底面圆心的连线长为 12
cm，则这个圆台的母线长为________cm.
解析：如图，过点 A作AC⊥OB，交OB 于点 C.
在Rt△ABC 中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．
所以 AB＝＝13(cm)．
答案：13
8.已知圆锥 SO，过 SO 的中点 P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱
PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱 PO 的体积与圆锥 SO 的体积的比值为
________．
解析：设圆锥 SO 的底面半径为 r，高为 h，则圆柱 PO 的底面半径是，高为，所以 V圆
锥SO＝πr2h，V圆柱 PO＝π·＝，所以＝.
答案：
9. (应用型)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 P-
A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O是
2
正四棱锥的高 PO1的4倍，若 AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
解：由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.
因为 A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥 PA1B1C1D1的体积 V锥＝·A1B·PO1＝×62×2＝
24(m3)；
正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，
所以仓库的容积 V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
故仓库的容积是 312 m3.
10.如图，四边形 ABCD 为菱形，G为AC 与BD 的交点，BE⊥平面 ABCD.
(1)证明：平面 AEC⊥平面 BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥 EACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积．
解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD.
因为 BE⊥平面 ABCD，所以 AC⊥BE.
故AC⊥平面 BED.
又AC⊂平面 AEC，
所以平面 AEC⊥平面 BED.
(2)设AB＝x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因为 AE⊥EC，所以在 Rt△AEC 中，可得 EG＝x.
由BE⊥平面 ABCD，知△EBG 为直角三角形，可得 BE＝x.
由已知得，三棱锥 EACD 的体积 V三棱锥 EACD＝×·AC·GD·BE＝x3＝，故x＝2.
从而可得 AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与△ECD 的面积均为.
故三棱锥 EACD 的侧面积为 3＋2.
[综合题组练]
1．(2020·辽宁丹东测试)已知表面积为 12π 的圆柱的上下底面的中心分别为 O1，O2.若
过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是正方形，则 O1O2＝(　　)
A．2 B．2
3
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