新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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第1讲　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一、知识梳理
1．两个计数原理
两个计数原理 目标 策略 过程 方法总数
分类加法
计数原理
完
成
一
件
事
有两类不
同的方案
在第 1类方案中有 m种不同的
方法，在第 2类方案中有 n种
不同的方法
N＝m ＋ n
种不同
的方法
分步乘法
计数原理
需要两
个步骤
做第 1步有 m种不同的方法，
做第 2步有 n种不同的方法
N＝m × n
种不同
的方法
2.两个计数原理的区别
分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成
这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这
件事才算完成．
常用结论
三个易错点
(1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步．
(2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准．
(3)分步要做到“步骤完整”，步步相连．
二、教材衍化
1．已知某公园有 4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为(　　)
A．16　　　　　　　　　 B．13
C．12 D．10
解析：选C．将 4个门编号为 1，2，3，4，从1号门进入后，有3种出门的方式，共3
种走法，从2，3，4号门进入，同样各有 3种走法，共有不同走法 4×3＝12(种)．
2．如图，从 A城到 B城有 3条路；从 B城到 D城有 4条路；从 A城到 C城有 4条路，
从C城到 D城有 5条路，则某旅客从 A城到 D城共有________条不同的路线．
1
解析：不同路线共有 3×4＋4×5＝32(条)．
答案：32
3．已知集合 M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从 M，N这两个集合中各选一
个元素分别作为点的横坐标，纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象
限内不同的点的个数是________．
解析：分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情
况，因此第一、二象限内不同点的个数是 3×2＝6.
答案：6
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(　　)
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(　　)
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(　　)
(4)在分步乘法计数原理中，事件是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成
这件事．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
二、易错纠偏
分类、分步标准不清致误
1．从 0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同
取法的种数有(　　)
A．30　　　　　　 B．20
C．10 D．6
解析：选D．从 0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同数字相加和为偶数可
分为两类，①取出的两数都是偶数，共有 3种方法；②取出的两数都是奇数，共有 3种方
法，故由分类加法计数原理得共有 N＝3＋3＝6(种)．
2．某班新年联欢会原定的 6个节目已排成节目单，开演前又增加了 3个新节目，如果
将这 3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为________．
解析：3个新节目一个一个插入节目单中，分别有 7，8，9种方法，所以不同的插法
种数为 7×8×9＝504.
答案：504
3．书架的第 1层放有 4本不同的语文书，第 2层放有 5本不同的数学书，第 3层放有
6本不同的体育书．从书架上任取 1本书，不同的取法种数为________，从第 1，2，3层分
别各取 1本书，不同的取法种数为________．
解析：由分类加法计数原理知，从书架上任取 1本书，不同的取法种数为 4＋5＋6＝
15.由分步乘法计数原理知，从1，2，3层分别各取 1本书，不同的取法种数为 4×5×6＝
120.
2
答案：15　120
考点一　分类加法计数原理(基础型)
通过实例，了解分类加法计数原理及其意义．
核心素养：数学建模
(1) 椭圆＋＝1(m＞0，n＞0) 的焦点在 x轴 上 ，且
m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为(　　)
A．10　　　　　　　　　　 B．12
C．20 D．35
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为________．
【解析】　(1)因为焦点在 x轴上，m＞n，以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，
可分为四类：第一类：m＝5时，使m＞n，n有4种选择；第二类：m＝4时，使m＞n，n
有3种选择；第三类：m＝3时，使m＞n，n有2种选择；第四类：m＝2时，使m＞n，n
有1种选择．故符合条件的椭圆共有 10 个．故选 A．
(2)根据题意，将十位上的数字按 1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成 8类，在每一类
中满足题目条件的两位数分别有 8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．
由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
【答案】　(1)A　(2)36
【迁移探究 1】　(变条件)在本例(1)中，若 m∈{1，2，…，k}，n∈{1，2，…，k}
(k∈N*)，其他条件不变，这样的椭圆有多少个？
解：因为 m＞n.
当m＝k时，n＝1，2，…，k－1.
当m＝k－1时，n＝1，2，…，k－2.
…
当m＝3时，n＝1，2.
当m＝2时，n＝1.
所以共有 1＋2＋…＋(k－1)＝(个)．
【迁移探究 2】　(变条件)若本例(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”，则这样的
两位数的个数是多少？
解：分两类：一类：个位数字大于十位数字的两位数 ，由本例(2)知共有 36 个；另一
类：个位数字与十位数字相同的有 11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个．由分
类加法计数原理知，共有 36＋9＝45(个)．
分类加法计数原理的两个条件
3
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