新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第1讲　不等关系与不等式

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第1讲　不等关系与不等式

一、知识梳理

1．实数大小顺序与运算性质之间的关系

a－b>0⇔a > b ；a－b＝0⇔a ＝ b ；a－b<0⇔a < b ．

2．不等式的基本性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a.

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a > c ．

(3)可加性：a＞b⇒a＋c>b＋c；

a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d.

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，

a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an>bn(n∈N，n≥1)．

(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．

常用结论

记住不等式的两类常用性质

(1)倒数性质

①a>b，ab>0⇒<；

②a<0<b⇒<；

③a>b>0，d>c>0⇒>.

(2)有关分数的性质

若a>b>0，m>0，则

①<；>(b－m>0)；

②>；<(b－m>0)．

二、教材衍化

1.________＋1(填“>”“<”或“＝”)．

答案：<

2．若 a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的________条件．(填“充分不必

要”“必要不充分”和“充要”)

答案：充分不必要

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个实数 a，b之间，有且只有 a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　)

(2)若>1，则 a>b.(　　)

(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)

(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)

(5)a>b>0，c>d>0⇒>.(　　)

(6)若ab>0，则 a>b⇔<.(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√

二、易错纠偏

(1)乱用不等式的相乘性致错；

(2)求范围乱用不等式的加法原理致错．

1．若 a>b>0，c<d<0，则下列结论正确的是(　　)

A．－>0　　　　　　

B．－<0

C．>

D．<

解析：选D．因为 c<d<0，所以 0<－d<－c，

又0<b<a，所以－bd<－ac，即bd>ac，

又因为 cd>0，所以>，即>.

2．若－<α<β<，则 α－β的取值范围是________．

解析：由－<α<，－<－β<，α<β，

得－π<α－β<0.

答案：(－π，0)

考点一　比较两个数(式)的大小(基础型)

比较两个数(式)的大小的方法是作差法、作商法．

核心素养：数学抽象

1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　)

A．A≤B B．A≥B

C．A<B D．A>B

解析：选B．由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得 A≥B

．

2．已知 a>b>0，m>0，则(　　)

A．＝

B．>

C．<

D．与的大小关系不确定

解析：选C．－＝＝.

因为 a>b>0，m>0.

所以 b－a<0，a＋m>0，所以<0.

即－<0.所以<.

3．若 a＝，b＝，比较 a与b的大小．

解：因为 a＝＞0，b＝＞0，

所以＝·＝＝＝log89＞1，

所以 a＞b.

比较两数(式)大小的方法

作差法作商法

原理设a，b∈R，则a－b>0⇒a>b；a

－b＝0⇒a＝b；a－b<0⇒a<b

设a>0 ，b>0 ，则>1⇒a>b；＝ 1⇒a＝b；

<1⇒a<b

步骤作差并变形⇒判断差与 0的大小

⇒得结论作商并变形⇒判断商与 1的大小⇒得结论

注意

利用通分、因式分解、配方等方

法向有利于判断差的符号的方向

变形

作商时各式的符号应相同，如果 a，b均小于

0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方

法有分母(或分子)有理化，指数、对数恒等变

形等

考点二　不等式的性质(基础型)

利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意不等式成立的条件．

(1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

(2)若a＞0＞b＞－a，c<d<0，则下列结论：① ad＞bc；②＋<0；③ a－c＞b－d；

④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】　(1)当b<0 时，显然有 a>b⇔a|a|>b|b|；

当b＝0时，显然有 a>b⇔a|a|>b|b|；

当b>0 时，由a>b有|a|>|b|，

所以 a>b⇔a|a|>b|b|.

综上可知 a>b⇔a|a|>b|b|，故选 C．

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