新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第1讲　变化率与导数、导数的计算

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第1讲　变化率与导数、导数的计算
一、知识梳理
1．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数
一般地，称函数 y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Error: Reference source not found ＝
lim Error: Reference source not found 为函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或y′|x＝x0，即
f′(x0)＝limError: Reference source not found＝lim Error: Reference source not found ．
[提醒]　f′(x0)代表函数 f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值 f(x0)的导数，而函数值
f(x0)是一个常量，其导数一定为 0，即(f(x0))′＝0.
(2)导数的几何意义
函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点 P(x0，y0)处的切线的斜
率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t的导数)．相应地，切线方程为 y － y 0＝ f ′ ( x 0)( x －
x0)．
(3)函数 f(x)的导函数
称函数 f′(x)＝Error: Reference source not foundlim为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nx n
－
1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x f′(x)＝－ sin _x
f(x)＝ax
(a>0 且a≠1) f′(x)＝a x
ln _a
f(x)＝exf′(x)＝e x
f(x)＝logax
(x>0，a>0 且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x
(x>0) f′(x)＝
3.导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f ′( x )± g ′( x ) ．
1
(2)[f(x)·g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ．
(3)′＝(g(x)≠0)．
[提醒]　求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中
“＋”“－”号记混，如出现如下错误：′＝，(cos x)′＝sin x.
常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方
向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
二、教材衍化
1．函数 y＝xcos x－sin x的导数为(　　)
A．xsin x　　 B．－xsin x　　
C．xcos x　　 D．－xcos x
解析：选B．y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
2．曲线 y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为________．
解析：因为 y′＝，所以 y′|x＝－1＝2.
故所求切线方程为 2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数 y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)
(2)求f′(x0)时，可先求 f(x0)，再求 f′(x0)．(　　)
(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)
(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)
(5)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线与过点 P(x0，y0)的切线相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
二、易错纠偏
(1)混淆平均变化率与导数的区别；
(2)导数的运算法则运用不正确．
1．函数 f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在 x＝2处的导数为_______
_．
解析：函数 f(x)＝x2在区间[1，2]上的平均变化率为＝3；因为 f′(x)＝2x，所以 f(x)在x
＝2处的导数为 2×2＝4.
答案：3　4
2．函数 y＝的导函数为________．
解析：y′＝＝.
2
答案：y′＝
考点一　导数的运算(基础型)
复习指导 1.能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数．
2．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．
核心素养：数学运算
角度一　求已知函数的导数
求下列函数的导数：
(1)y＝x2sin x；
(2)y＝ln x＋；
(3)y＝3xex－2x＋e.
【解】　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x.
(2)y′＝′＝(ln x)′＋′＝－.
(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′
＝3xexln 3＋3xex－2xln 2
＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.
[注意]　求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这
样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化
简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．
角度二　求抽象函数的导数值
已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足关系式 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则 f′(2)＝
________．
【解析】　因为 f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以 f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以 f′(2)＝4＋3f′(2)
＋＝3f′(2)＋，所以 f′(2)＝－.
【答案】　－
对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似 f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，
3
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