突破1.3 导数在研究函数中的应用（原卷版）

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突破 1.3 导数在研究函数中的应用
一、考纲要求
1.熟记并掌握基本初等函数的求导公式以及导数的计算；
2.熟记并理解导数的几何意义以及能够利用导数的几何意义求切线方程；
3.能利用导数的性质判断函数的单调性；
4.处理导数的图像与函数之间关系，并可以求取极值与最值。
二、考情分析
1．函数的单调性与其导数的关系
在某个区间 内，如果___________，那么函数 在这个区间内单调递增；如果________
___，那么函数 在这个区间内单调递减．
【特别注意】：
在某个区间内， （ ）是函数 在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不
是必要条件．函数 在 内单调递增（减）的充要条件是 （ ）在 内恒
成立，且 在 的任意子区间内都不恒等于 0．
2．函数图象与 之间的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较 ___________，那么函数在这个范围内变化得
快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些．
三、题型分析
（一）、利用导数判断函数的单调性
（1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式
（ ）在给定区间上恒成立．一般步骤如下：
① 求导数 ；
② 判断 的符号；
③ 给出单调性结论．
（2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨
论，定义域为实数集 可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，
还要注意在定义域内的不连续点和不可导点．
（3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“ ∪ ”连
接．
例1 求下列函数的单调区间：
（1） ；
（2） ．
【变式训练 1】 已知函数 其中 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，求 的单调区间．
（二）、函数与导函数图象之间的关系
判断函数与导数图象间对应关系时，首先要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象，其次
对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注
意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一
致．
例2 设函数 在定义域内可导， 的图象如图所示，则导函数 可能为
A B C D
【变式训练 1】 已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是
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