题型04 平面向量数量积与三角形平面向量中线定理（原卷版）

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秒杀题型一：三角形中平面向量中线定理
秒杀策略：中线定理：如 为 边 上的中线，则 。
1.(2014 年新课标全国卷I15)已知 是圆 上的三点,若,则 与 的夹角
为 .
2.(2017 年新课标全国卷II12)已知
ABC
是边长为 2的等边三角形,为平面 内一点,则
( )PA PB PC 
                           
的最小值是 ( )
A.
2
B.
3
2
C.
4
3
D.
1
3.(高考题)设 是 所在平面内的一点,
2BC BA BP 
                           
,则 ( )
A.
0PA PB 
                           
B.
C.
0PB PC 
 
D.
0PA PB PC 

4.(高考题)在 中,为中线 上一个动点,若,则 的最小值是 .
5.(高考题)已知 是 所在平面内一点,为 边中点,且,那么( )
A. B. C. D.
6.(高考题)设 为平行四边形 对角线的交点,为平行四边形 所在平面内任意一点,则
等于 ( )
A. B.2 C.3 D.4
秒杀题型二：向量数量积及运算率
秒杀策略：定义：(与物理中功的定义一致，两向量通过数量积运算以后是标量或实数。)(亦称内积)是两
向量乘法运算中的一种， ，叫做向量 与 的数量积。 为向量 与
的夹角，注意：求两向量的夹角应把向量的起点移到同一点，注意不能理解成两条直线的夹角，
。
几何意义为： 等于 (或)与(或)在(或)方向上的投影 ( )的乘积。
1
运算率：①交换率： ；
②分配率： ;
③不满足结合率： ，因为前面表示与 共线的向量，后面表示与 共线的向量。
三种方法：1.定义法，代入到数量积的公式中，对于较简单题（已知两向量的模与夹角），用此法计算。
2.绕法，当两向量的模与夹角不容易求时，把两向量通过平行四边形或三角形绕成用已知向量（已知模与
夹角的向量）表示，然后代入到数量积公式中。
3.坐标法，如果给出两向量所在图形存在垂直关系（或容易建系时）时，适当建立直角坐标系，代入坐标
计算。
4.投影法，当一个向量在另一个向量上的投影易求时，用此法计算。
5.特殊图形法，如果图形形状不确定，则可取特殊图形，然后利用建系或投影计算。
题型 1：简单型，利用定义计算：
1.(2010 年辽宁卷)平面上 三点不共线,设,则 的面积等于 ( )
A. B.
C. D.
2.(2016 年新课标全国卷II3)已知向量 且 ,则= ( )
A.－8 B.－6 C.6 D.8
3.(2012 年辽宁卷)已知向量 , ,若,则= ( )
A.—1 B.— C. D.1
4.(2016 年新课标全国卷II4)已知向量 满足 ,则= ( )
A.4 B.3 C.2 D.0
5.(高考题)已知
a
是平面内的单位向量,若向量
b
满足 ,则
| |b
的取值范围是 .
6.(高考题)设
a
,
b
,
c
为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足
a
与
b
不共线,
a
c
,
2
,则 的值一定等于 ( )
A.以
a
,
b
为邻边的平行四边形的面积 B.以
b
,
c
为两边的三角形面积
C.
a
,
b
为两边的三角形面积 D.以
b
,
c
为邻边的平行四边形的面积
7.(高考题)在 中, , ,则 ( )
A. B. C. D.
8.(高考题)设 为向量,则“ ”是“ ”的 ( )
A.充分不必要条件 C.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
题型 2：多种方法均可：
1.(2013 年新课标全国卷II13)已知正方形 的边长为 2, 为 的中点,则=______.
2.(高考题)在正三角形 中,是 上的点,若, ,则 .
3.(高考题)在 中,是 的中点, ,则= .
4.(高考题)在平面直角坐标系中,正方形 的对角线 的两端点分别为 , ,则
= ．
5.(高考题)在边长为 1的正三角形 中,设,则.
6.(高考题)如图,在平行四边形 中,已知 , ,则 的值
是 ．
7.(高考题)在 中, , 是边 的中点,则 ．
8.(高考题)在平行四边形 中, , , 为 的中点,若,则 的长
为 .
9.(高考题)已知菱形 的边长为 , ,则= ( )
3
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