题型04 多元问 题、正难则反问题（解析版）

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【秒杀题型七】：多元问题。
『秒杀策略』：多元问题分类(加法原理)处理：对于有多种可能性排列的，要先进行分类，对每一类进行
排
列，然后利用加法原理。
1.(2008 年新课标全国卷 9)甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求
每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法有 ( )
A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种
【解析】：法一：多元问题分类(加法原理)处理：对于有多种可能性排列的，要先进行分类，对每一类进
行排列，然后利用加法原理。本题甲安排周一：共有 ；甲安排周二：共有 ；甲安排周三：共有
；共有： + + =20 种，选 A。
法二：等可能问题对称处理：对于排列、组合中几率相同的几种可能，只需进行全排列，然后除以可能性
的种数即可。本题任意排列为 ，甲有前、中、后三种可能，即 =20，选 A。
2.(高考题)4 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，
选甲题答对得 100 分，答错得－100 分；选乙题答对得 90 分，答错得－90 分。若 4 位同学的总分为 0，则
这 4 位同学不同得分情况的种数是 ( )
A.48　　 B.36　　 C.24　　 D.18
【解析】：①全选甲：共有 ；②全选乙：有 种；③两甲两乙：有 种，共有
6+6+24=36 种，选 B。
3.(高考题)某外商计划在四个候选城市投资 3 个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过 2 个，则该
外商不同的投资方案有 ( )
1
A.16 种 B.36 种 C.42 种 D.60 种
【解析】：①三个项目投资到三个城市，每个城市一个项目：有 种；②三个项目投资到两个城市，
一 个 城 市 两 个 项 目 ， 一 个 城 市 一 个 项 目 ： 共 有 （ 或 =36 种 ） ， 共 有 ：
24+36=60 种，选 D。
4.(高考题)从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台，其中至少有原装与组装计算机各 2 台，则
不同的选取法有 种(用数字作答)。
【解析】：①原装 3 台、组装 2 台，有 种；②原装 2 台、组装 3 台，有 种；共
有： 种。
错误做法： ，出现了重复计算。
【秒杀题型八】：正难则反问题。
『秒杀策略』：正难则反排除处理：对于正面不好解决的排列、组合问题，考虑反面(取补集的思想)，一
般在题目中有字眼“至多、至少”等体现。
1.(高考题)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点，在其中取 4 个不共面点，不同取法有 种。
【解析】：任取 4 个点共有 种，再考虑不满足条件的取法：①每个表面六个点中任取四个点共
面，即 种；②每一条棱与对棱中点四个点共面，有 6 种；③与对棱平行的平行四边形共面，有
3 种，共有 210-60-6-3=141 种。
2.(2009 年辽宁卷)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队， 要求其中男、女医生
2
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