题型02 向量的几何运算与代数运算（解析版）

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秒杀题型一：向量几何运算中的平行四边形法则与三角形法则
秒杀策略： 加法运算要找首尾相连的向量(从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点)；
减法运算要找起点相同的向量(指向被减数)。
1.(2014 年新课标全国卷 II)设 分别为 的三边 的中点,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】：由三角形中线向量性质得： ，选
A。
2.(高考题)如图,在平行四边形 中,下列结论中错误的是 ( )
A. ＝ B. ＋＝
C. －＝ D. ＋ ＝
【解析】：选 C。
3.(高考题)若 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是 ( )
A. B. C. D.
【解析】：选 B。
4.(高考题)如图,正六边形 中,有下列四个命题：
D
M
AB
M
C
M
a
b
AB
CD
1
A. B.
C. D.
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
【解析】：利用向量平行移动，对于选项 A： ，正确；
对于选项 B：同上，正确；
对于选项 C：数量积可以转化为投影，因为 、 在 上的投影不同，错误；
对于选项 D：同上，正确。选 ABD。
5.(高考题)正六边形 中, = ( )
A. B. C. D.
【解析】：同上题，选 D。
6.(高考题)分别是 的边 的中点,则 ( )
A.
0AD BE CF 
                                         
B.
0BD CF DF 
                                  
C.
0AD CE CF 
  
D.
0BD BE FC 
  
【解析】：选 A。
7.(高考题)在平行四边形 中,对角线 与 交于点 , ,则 .
【解析】： ,。
8.(高考题)已知直角梯形 中, , , 是腰 上的动点,则
的最小值为 .
AB
D
E
C
F
2
【解析】：由三角形法则(首尾相连的向量)：,
当 时最小，最小值为 5。
秒杀题型二：平行四边形两条对角线的性质
秒杀策略： 与 分别是构成平行四边形的两条对角线，注意其几何意义；
※注意两类平行四边形在向量中的应用:①(菱形两条对角线互相垂直);
②(矩形两条对角线相等);
※平行四边形性质:四条边的平方和等于两条对角线的平方和,即:
2或 。
※三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量。
1.(2012 年辽宁卷)已知两个非零向量 、 满足 ,则下面结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
【解析】：两条对角线相等，可知是矩形，选 B。
2.(2016 年新课标全国卷I13)设向量 , ,且,则= .
【解析】：法一：代入坐标可得 ;
法二：由条件可知 。
3.(2017 年新课标全国卷II4)设非零向量 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】：两条对角线相等，可知构成矩形，选 A。
4.(高考题)设点 是线段 的中点,点 在直线 外,则=
( )
A.8 B.4 C.2 D.1
【解析】：由已知可得 ， 是 中点， 等于斜边 的一半，即 = =2，选
C。
3
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