特殊平行四边形辅助线的添加技巧提升策略

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特殊平行四边形辅助线的添加技巧提升策略

特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些

和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线 .下面介绍一些辅助线的添加

方法.

一 . 和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利

用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形

．利用一组对边平行且相等构造平行四边形

．利用两组对边平行构造平行四边形

．利用对角线互相平分构造平行四边形

二 . 和菱形有关的辅助线的作法

和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定

理或性质定定理解决问题

菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的

不是很多，常见的几种辅助线的方法有：

（

）作菱形的高；（

）连结菱形的对角线

三、与矩形有辅助线作法

和矩形有关的题型一般有两种：

（

）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问

题；

（

）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解

决问题

和矩形有关的试题的辅助线的作法较少

四.与正方形有关辅助线的作法

正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，

有关正方形的试题较多

解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形

对角线是解决正方形问题的常用辅助线

一 . 和平行四边形有关的辅助线作法

平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利

用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形

．利用一组对边平行且相等构造平行四边形

例 1 .如图 1，已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点，四边形

OCDE 是平行四边形.

求证:OE 与 AD 互相平分.

分析:因为四边形 OCDE 是平行四边形,所以 OC//ED,OC=DE,又由 O 是 AC 的

中点,得出 AO//ED,AO=ED,则四边形 AODE 是平行四边形,问题得证.

证明:连结 AE、OD，因为是四边形 OCDE 是平行四边形，

所以 OC//DE，OC=DE，因为 0 是 AC 的中点，

所以 A0//ED，AO=ED,

所以四边形 AODE 是平行四边形，所以 AD 与 OE 互相平分.

说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质

有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.

．利用两组对边平行构造平行四边形

例 2.¢如图 2，在△ABC 中，E、F 为 AB 上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC

交 BC 分别为 D，G.求证:ED+FG=AC.

分析:要证明 ED+FG=AC,因为 DE//AC,可以经过点 E 作 EH//CD 交 AC 于 H

得平行四边形,得 ED=HC,然后根据三角形全等,证明 FG=AH.

证明:过点 E 作 EH//BC,交 AC 于 H,因为 ED//AC,所以四边形 CDEH 是平行

四边形 ,所以 ED=HC, 又 FG//AC,EH//BC, 所以 ∠AEH=∠B,∠A=∠BFG, 又

AE=BF,所以△AEH≌△FBG,

所以 AH=FG,所以 FG+DE=AH+HC=AC.

说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对

边平行，得到平行四边形解决问题.

．利用对角线互相平分构造平行四边形

例 3 . 如图，已知 AD 是 △ ABC 的中线， BE 交 AC 于 E ，交 AD 于 F ，且

AE=EF.求证 BF=AC.

分析：要证明 BF=AC，一种方法是将 BF 和 AC 变换到同一个三角形中，

利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和 BF、AC 相等的相

段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形.

证明：延长 AD 到 G，使 DG=AD，连结 BG，CG，

因为 BD=CD，所以四边形 ABGC 是平行四边形，

所以 AC=BG，

AC//BG，所以∠1=∠4，因为 AE=EF，

所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4，

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