四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）答案

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绵阳南山中学 2020 年秋季高 2019 级半期考试
数学(理科)参考答案
CCBCB DADBB AA
092.0
；
24
；
5836
；③④
17.解析：（1）
150.)04.008.012.052.04.0216.008.0( a
3.0a
..............5 分
（2）居民月均用水量的众数约为
2.25
吨. .....................7 分
前四组频率之和为
0.47
，所以中位数为
2.06
52
107
0.52
0.03
2
吨. ..........10 分
18.解析：（1）联立
0956 yx
与
052 yx
解得
..........4 分
（2）设
),( 00 yxB
，则
AB
的中点
)
2
1
,
2
5
(00 yx
B
，则
05
2
1
5
0956
0
0
00
y
x
yx
解得
)3,1( B
......................................8 分
又
2
AC
k
，
2
1
k
，所以
)1(
2
1
3xy
即
052 yx
......................................12 分
19.解析（1）法一、设
222
1)()( rbyaxC ：
，则
rba
rba
rba
25)5()5(
)6()(
22
222
222
解得
23
3
3
r
b
a
................6 分
法二、圆心为
OA
的中垂线与
2
OC
的交点，又直线
OA
的方程
xy
，
)3,3(
1
C
，
2333 22 r
所以圆
1
C
的方程
18)3()3( 22 yx
（2）
l
过定点
)1,3(B
..............................8 分
当
1
BCl
时弦长最短，此时
2
1
m
，弦长
142
............12 分
20.解析：（1）
2
1
)
2
1
(22 xyx
，化简得
xy 2
2
...............5分
（2）法一、当
l
无斜率时，
2x
，
)2,2(),2,2( BA
022-22 OBOA
...............6分
当
l
有斜率时，设
)2( xky
，
),(),,( 2211 yxByxA
第2页 共 4页
由
xy
xky
2
)2(
2
得
04)24( 2222 kxkxk
4
24
21
2
2
21
xx
k
k
xx
又
得
0k
，...............8分
)2)(2( 21
2
212121 xxkxxyyxxOBOA
2
21
2
21
24)(2)1( kxxkxxk
04
24
24)1( 2
2
2
22
k
k
k
kk
综上所述
0OBOA
,
OBOA
，故以线段
AB
为直径的圆过原点
O
.....12分
法二、当直线斜率为
0
时，直线与抛物线交于一点，不符合题意． ...............6分
设
: 2l x my 
，
1 1
( , )A x y
，
2 2
( , )B x y
，
联立：
22
2
y x
x my
 
得
22 4 0y my  
，
2
4 16m 
恒大于
0
，
1 2 2y y m 
，
1 2 4y y  
．...............8分
2121 yyxxOBOA
1 2
( 2)( 2)my my 
21 yy
2
1 2 1 2
( 1) 2 ( ) 4m y y m y y  
2
4( 1) 2 (2 ) 4m m m 
0
OBOA
，故以线段
AB
为直径的圆过原点
O
．...............12分
21.解.（1）曲线
C
的方程为
2
21
4
xy 
................5 分
（2）法一、①当
l
无斜率时，交点
)
2
3
,1(
，
2
3
13
2
1S
...............6 分
②当
l
有斜率时，设
)1(: xkyl
，
),(),,( 2211 yxByxA
则
044
)1(
22 yx
xky
0448)41( 2222 kxkxk
0
得
Rk
，由题意构成
得
0k
2
2
21
2
2
21
41
44
41
8
k
k
xx
k
k
xx
..............7 分
2121 2
1
1
2
1xxkyyS
22
22
)14
13(
2
k
kk
（
）
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