上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编（五）

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F
C'
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A'
B'
O
A
B
C
上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编五
1. （复附）从 中取两个不同的数，使两数之和大于 ，则有 种
不同的取法。
解：取一个 ，则 中，任取一个数都能使两数之和大于 ，共 种取法；
取一个 ，则 中，任取一个数都能使两数之和大于 ，共 种取法；
……
取一个 ，则另一个数只能为 ，共 种取法；
∴共 种。
2. （交附）平面上边长为 的正方形 绕着其中心旋转 得到正方形 ，那
么这两个正方形重叠部分的面积为 。
解：如图，∵正方形 绕着其中心旋转 得到正方形 ，
∴对应边的夹角都是 ，
∴旁边的小三角形都是等腰直角三角形。
易知 ， ， .
∴
∴重叠部分的面积为 。
3. （建平）已知 是实数，若不等式 的解集是 ，则不等式
的解集是 。
解：∵不等式 的解是
∴ ，∴ ，∴ ，代入解得
∴
∴ 。
4. （交附）设 ， 是平面直角坐标系中的两点， 是线段 垂直平分线上的
1
点，如果点 与点 的距离等于 ,则点 的坐标为 。
解：线段 的垂直平分线的方程为
设 ，则
整理得： ,解得：
∴ 。
5. （华二）关于 的方程组 有 组解．
解：由②得：显然 ， ， ，∴ ，
代入①得： ，∴
∴ 或 ，∴ ，代入 得 ，
∴方程组的解为 或 。∴有 组解。
6. （上中）设 为实数，且 ，若方程甲： ，
乙： ，则（ ）
甲必要实根，乙也必有实根 甲没有实根，乙也没有实根
甲、乙至少有一个有实根 甲、乙是否总有一个有实根不能确定
解：一方面，假设甲、乙两个方程都没有实根；
则 ；
两式相加，得 ；
∵ ；
∴ ；
即 ；
2
这与 矛盾；
故原假设不成立，即甲、乙两个方程中至少有一个有实根；
另一方面，令 ， ， ；
则甲方程没有实根，乙方程有实根；故选 。
7. （复附）如图，在正五边形 中， ，求 。
I
F
H
G
J
B
C
D
E
A
解：∵正五边形的每个内角都为
∴
∴ ，
∴△ 为黄金三角形，
∴
同理： ， .
易知 ，
∴
。
8. （华二）某商场需购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价与售价如下图：
单位（元） 甲 乙
进价 4000 2500
售价 4300 3000
3
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