上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编（四）

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上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编四
1. （建平）已知 ，那么 的值 。
解：显然 同号
1若 ， ，则
2若 ， ，则
2. （交附）小明负责小组里 个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。如果他随机的分发 个
同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是 。
解：分母为 ；第一个同学发错有 种可能，假设第一个同学拿了第四个同学的本子，则第四个同
学的本子必错，也有 种可能，剩下的只能是第二个同学拿第三个同学的本子；第三个同学拿第
二个同学的本子，∴每个同学的本子都发错的概率为 .
3. （上中）定圆 的半径为 ，动圆 的半径为 ， 且 是一个整数，动圆 保持内
切于圆 且沿着圆 的圆周滚动一圈，若动圆 开始滚动时切点与结束时的切点是同一点，则
共有 个可能的值？
解：若动圆 开始滚动时切点与结束时的切点是同一点；
则 是 的倍数；
， 有 个正因数；
∵
∴ 有 个可能的值。
4. （上中）学生若干人租游船若干只，如果每船坐 人，就余下 人；如果每船坐 人，那么就
有一船不空也不满。则学生共有 人？
解：设租游船 只；
由题意得
解得
正整数解为 ；
1
学生共有 人。
5. （建平）如图， 是⊙ 的直径，且 ，弦 的长为 ，若弦 的两端在圆上
滑动时，始终与 相交，记点 到 的距离分别为 ，则 。
h
2
h
1
D
G
E
F
N
M
B
O
A
h
2
h
1
E
N
M
B
O
A
解：易知 ，
∴
易知
∴ 。
6. （华二）解关于 的方程 。
解：
1当 即 时，原方程无解；
2当 即 时，
3当 即 时， 或
解得： 或 。
7. （复附）二次函数 的图像开口向上，与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，以
为顶点，若△ 的外接圆与 轴相切，且 ，则 时， 的最小值
是 。
2
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