上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编（三）

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上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编三
1. （交附）已知 是正实数，则 的最小值等于 。（ ，提示：均值不等式）
2. （华二）有一个矩形 ， ， 为 边上， 将 三
等分，则 .（ ）
3. （交附）满足方程： 的正整数有序数对的 个数为 。
解：∵ ，∴ ，∴ ，
∴
∴ ，∵ 都是正整数，∴ ，
∴ ，故正整数有序数对的 个数为 个。
4. （上中）对于各数互不相等的正整数组 （ 是不小于 的正整数），如果在
时有 ，则称 与 是该数组的一个“逆序”。例如数组 中有逆序“
”，“ ”，“ ”，“ ”，其逆序数为 。现若各数互不相同的正整数组
的逆序数为 ，则 的逆序数是
。
解：如果在 时有 ，则称 与 是该数组的一个“逆序”；
如果在 时有 ，则称 与 是该数组的一个“顺序”；
则顺序数与逆序数的和为 。
现若各数互不相同的正整数组 的逆序数为 ；
1
则 的逆序数等于 的顺序数，为
。
5. （上中）若 为正整数，则使得关于 的不等式 有唯一的整数解的 的最大值
为 。
解：∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴
∵原不等式有唯一整数解；
∴ ；
解得 ，
取 ；
∴
解得 。
故 的最大值为 。
6. （华二）如图所示， 在以 为直径的⊙ 上， ， 是切线，延长 、
交于点 .
（1） 求证： 是切线；
（2） 若 ，求 的值。
2
2
1
E
D
B
A
O
C
E
D
B
A
O
C
证明：（1）连结 ，
∵ 在以 为直径的⊙ 上
∴ ，∵ ，
∴
∴ 是 的垂直平分线
∴ ，
∴
∴ 是切线；
（2）∵ ，设 ，则 ， ,
∵
∴ ，设 ，则 ， ，
∵
∴ ，解得 ，
.
7. （复附）已知 为正实数，且关于 的方程 有且仅有一个实数根，
求实数 的取值范围。
解：∵
3
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