上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编（二）

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F
E
G
D
B
C
A
上海市四校八大重点高中数学自招真题汇编二
1. （华二）有一个多项式，除以 ，商式是 ，余式是 ，则该多项式为 。
解： 。
2. （复附）若 只能取 ，且满足 ，
，则 。
解：设 有 个 ， 个 ， 个 。
则 ，解得
∴ 。
3. （华二）有一张长方形纸片，其长为 ，宽为 ，先将这张纸片按下右图的方式拼成矩
形 ，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为 ，当 的长
改变时， 不变， 和 满足的关系为 。
b
D
B
C
A
解：设 ，易知 ， ， ， ， ，
∴ ，
∵当 的长改变时， 不变，
∴ ，∴ 。
4. （上中）有 个实数 ，可以使得 为整数？
解：设 （ 为自然数）；
∴ ；
∵ ；∴不大于 的平方数有 个（ 可取 ）；
则有 个实数 ，可以使得 为整数。
5. （上中）设 ， ，则以下四个选项中最
接近 的整数为（ ）
解：
1
O
1
O
2
B
C
A
F
E
O
1
O
2
D
B
C
A
∵ ；
∴ ，∴最接近 的整数为 ；故选 .
6. （复附）如图，⊙ 是等腰△ 的内切圆，⊙ 与⊙ 外切且与 相切，⊙
与⊙ 的半径分别为 ，求△ 的面积。
解：∵
∴
∴ ，∵ ，
∴ ,
∴ ，
∵
∴
∴ .
7. （交附）证明 不是有理数。（七年级第二学期第 12 章 阅读材料）
证明：假设 是一个有理数，那么可以得到 ，其 中
为整数， 与 互素，且 ，
∴ ，于是有 ，则 是 的倍数，
在设 ，则 ，∴ ，则 是 的倍数，
可见 与 不是互素的，与前面所假设的 与 互素矛盾，因此 不是有理数。
8. （交附）如图，分别以 △ 的三边向外作正方形 、 、 ，证明：
2
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