山东省青岛市2021届高三5月统一模拟检测数学试题答案
数学答案 第1页（共7页）
青岛市 2021 年高考统一模拟检测
数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。
1--8：C B D C C B D A
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
9．ABC 10．BD 11．BCD 12．ABC
三、填空题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分。
13．
2a
； 14．
45
；
15．
4042−
； 16．（ 1）
8
；（ 2）
676π
5
．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分 10 分）
解：(1)选择条件①
2sin cos 2sin sinA B C B=+
，
在
ABC
中由正弦定理得：
2
cos 2
cb
Ba
+
=
，
在
ABC
中由余弦定理得：
2 2 2 2
22
a c b c b
ac a
+ − +
=
，
整理得：
2 2 2 =b c a bc+ − −
，
所以
2 2 2 1
cos 22
b c a
Abc
+−
= = −
，
因为
A
为
ABC
内角，所以
2π
3
A=
，
选择条件②
cos cos 0
2
AA
+=
，
则
2
2cos cos 1 0
22
AA
+ − =
，即
(2cos 1)(cos 1) 0
22
AA
− + =
，
所以
1
cos 22
A=
或
cos 1
2
A=−
，
因为
0πA
，所以
π
022
A
，所以
cos 0
2
A
，所以
cos 1
2
A=−
不成立
所以
1
cos 22
A=
，所以
23
Aπ
=
，所以
2π
3
A=
，
因为
ABC
面积为
32
，即
32sin
2
1=Abc
，
所以
8bc =
，
因为
ABC ABD ACD
S S S
=+
，
数学答案 第2页（共7页）
所以
12π1π1π
sin sin sin
2 3 2 3 2 3
bc AD c AD b= +
，
即
()bc b c AD= +
，
所以
4
5
bc
AD bc
==
+
，
所以线段
AD
的长度为
4
5
18．（本小题满分 12 分）
解： （1）因为
4=AC
，
N
为
1
AA
的中点，所以
24
1== NCCN
，
所以
2
1
2
1
2CCNCCN =+
，所以
NCCN 1
⊥
，
因为三棱柱
111 CBAABC −
为直三棱柱，所以
ABCC ⊥
1
，
又因为
CACCCACAB =⊥
1
，
，
所以
⊥AB
平面
CCAA 11
，
因为
CN
平面
CCAA 11
，所以
ABCN ⊥
因为
ABMN //
，以
MNCN ⊥
，
又因为
NNMNC =
1
，所以
⊥CN
平面
MNC1
，
（2）以
A
为坐标原点，
AB
为
x
轴，
AC
为
y
轴，
1
AA
为
z
轴，建立如图所示坐标系
所以
)0,0,0(A
，
)0,0,3(B
，
)0,4,0(C
，
)4,0,0(N
，
)8,4,0(
1
C
，
)8,0,3(
1
B
；
所以
( 3,4,0)BC =−
，
1(0,0,8)BB =
，设平面
CCBB 11
的法向量为
( , , )n x y z=
则
1
0
0
n BC
n BB
=
=
即
3 4 0
0
xy
z
− + =
=
所以
)0,3,4(=n
，
设
1 1 1
( , , )P x y z
，
1(0 1)AP AC
=
所以
)8,4,0(),,( 111
=zyx
所以
(0,4 ,8 )P
，
(0,4 ,8 4)NP
=−
，
当
0=
时
NP
与平面
CCBB 11
所成角正弦值为
0
，
当
01
时
记直线
NP
与平面
CCBB 11
所成角为
，
则
22
2
12 3
sin | |
| || | 41
5 (4 ) (8 4) 55
NP n
NP n
= = =
+− −+
，
令
1
1= t
，所以
5
3
545
3
sin 2
+−
=tt
，当且仅当
2=t
时成立，
1
C
1
B
M
B
1
A
C
A
N
P
x
y
z
数学答案 第3页（共7页）
所以直线
NP
与平面
CCBB 11
所成角正弦的最大值为
5
3
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）设数列
{}
n
a
的公差为
d
，
由
31
2
2 1 3
8
( 1) ( 1)
aa
a a a
−=
− = +
可得：
2
1 1 1
28
( 1) ( 2 1)
d
a d a a d
=
+ − = + +
解得：
13a=
，
4d=
，
所以
3 4( 1) 4 1
n
a n n= + − = −
，
当
2n
时，因为
1
23
nn
Sb
+
=−
，所以
1
23
nn
Sb
−=−
相减得：
11
2( )
n n n n
S S b b
−+
− = −
，所以
13
n
n
b
b
+=
，
由
13b=
，
1 1 2
2 2 3b S b= = −
可得：
29b=
，所以
2
1
3
b
b=
，
所以
{}
n
b
是以
13b=
为首项，以
3
为公比的等比数列，
所以
3n
n
b=
，
（2）（法一）列举观察知：
1 2 3
3, 27, 243c c c= = =
，
猜想：
21
3k
k
c−
=
，
下面证明：
因为
2
23 3 8 3 4(2 3 )
n n n n
nn
bb +
+− = − = =
是数列
}{ n
a
的公差
d
的正整数倍
由于
22
cb
，所以
2 4 2
, , , ,
k
b b b
不是
}{ n
a
中的项
由于
1 1 1 3c b a= = =
，所以
1 3 2 1
, , , ,
k
b b b −
是
}{ n
a
中的项，
从而
21
3 , 2 1
k
kk
c d k
−
= = −
，
所以
1 1 1
1 3 3 5 (2 1)(2 1)
k
Tkk
= + + +
− +
1 1 1 1 1 1 1
[( ) ( ) ( )]
2 1 3 3 5 2 1 2 1kk
= − + − + + −
−+
11
(1 )
2 2 1k
=−
+
11
2 4 2k
=− +
（法二）由
nm
ab=
可得：
1(3 1)
4
m
n=+
，
由于
31
m+
(4 1) 1
m
= − +
0 1 1 2 2 3 3 1 1
4 4 4 4 4 ( 1) ( 1) 1
m m m m m m m
m m m m m
C C C C C
− − − − −
= − + − + + − + − +
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