考点17 利用导数研究函数的极值与最值（考点详解）-备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题

3.0 envi 2025-04-14 41 4 3.33MB 17 页 3知币
侵权投诉
考点 17 利用导数研究函数的极值与最值
对于函数的极值与最值问题，需要常常结合函数的恒成立问题进行综合考查，考查过程中需要注意含
参数函数的取值范围问题，对于恒成立问题或存在性问题的处理思路一般是判断函数的单调性，然后结合
函数的极值或最值进行求解，多以解答题为主，同时需要注意参数的取值范围问题。
一、有关函数的极值问题；
二、函数的最值问题；
三、 恒成立有解问题。
有关函数的极值问题
函数极值的 两类热点问题
(1)求函数 f (x)极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
②求导数 f′(x)．
③解方程 f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．
④列表检验 f′(x)在f′(x)＝0的根 x0左右两侧值的符号．
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为 0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
【典例】例 1 设 其中 ,曲线 在点 处的 切线垂直于
轴.[来源:Z|xx|k.Com]
(1) 求 的值;(2)求函数 的极值.
【解析】(1)因 所以
由于曲线 在点 处的切线垂直于 轴,故该切线的斜率为 0,即 从而
1
,解得 .
(2)由(1)知
令 解得 (舍去).
当 时, 故 在 上为减函数;
当 时 , 故 在 上 为 增 函 数 . 故 在 处 取 得 极 小 值
.
变式训练 1. 设函数 ， .
（1）求函数 的极值；
（ 2 ） 若 ， 使 得 成 立 ， 求
的取值范围.
【解析】(1)由 得 ，令 得 或 .
当 变化时， 与 的变化情况如下表：
0 2
0 0
递减 极小值 0 递增 极大值 递减
故函数 的极大值为 ，极小值为 0.
(2) ，使得 ，等价于当 时， ，
2
由 得 ，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增，
所以当 时， .
由(1)知 ，解 得 .
故 的取值范围是 .
题型二　含参数函数求极值
例2．已知 a∈R，讨论函数 f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数．
【解析】f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1) ＋ex(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]．
令f′(x)＝0，所以 x2＋(a＋2)x＋2a＋1＝0　○．
(1)当Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a>0，即 a<0 或a>4 时，设○有两个不同的根x1，x2，不妨设 x1<x2，所
以f′(x)＝ex(x－x1)(x－x2).
即f(x)有两个极值点．
(2)当Δ＝0，即 a＝0或a＝4时，设 有两个相等实根 x1，所以 f′(x)＝ex(x－x1)2≥0，所以 f(x)无极值．
(3)当Δ<0，即 0<a<4 时，x2＋(a＋2)x＋2a＋1>0，所以 f′(x)>0.故f(x)也无极值．
综上所述，当 a<0 或a>4 时，f(x)有两个极值，
当0≤a≤4时f(x)无极值．
变式训练 2. 已知 ．
（ 1 ） 求 的 极 值 ； （ 2 ） [选 做 ]若 ， 关 于
的 方 程 有 唯 一 解 ， 求
的值．
【答案】（1）极小值， ；（2） ．
3
考点17 利用导数研究函数的极值与最值（考点详解）-备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题.doc

共17页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：17 页 大小：3.33MB 格式：DOC 时间：2025-04-14

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 17
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注