广东省深圳市2021届高三4月第二次调研考试数学试卷 答案

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深圳市高三数学第二次调研考试试题答案及评分参考第1页（共15页）
2021 年深圳市高三第二次调研考试
数学试题答案及评分参考
一、单项选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D B B A B C A
二、多项选择题：
题号 9 10 11 12
答案 BD AC BC ACD
12.设 函 数
( ) e e
x
f x x
=−
和
21
( ) ln (1 2 ) 2
g x x kx k x= − + − +
()kR
，其中
e
是自然对数的底数
（
=2.718 28
e
），则下列结论正确的为
A.
()
fx
的图象与
x
轴相切
B.存在实数
0k
，使得
()gx
的图象与
x
轴相切
C.若
1
2
k=
，则方程
( ) ( )f x g x
=
有唯一实数解
D.若
()gx
有两个零点，则
k
的取值范围为
1
(0, )
2
解析：
( )
ee
x
f x x=−
，则
( )
ee
x
fx
=−
；
( )
21
ln (1 2 ) 2
g x x kx k x= − + − +
，
则
( )
2
2 (2 1) 1 (2 1)( 1) ( 0)
kx k x kx x
g x x
xx
+ − − − +
= − = −
.
（选项 A）易知
1x=
是
()fx
的极小值点，且
(1) 0
f=
，所以
()fx
的图象与
x
轴相切，故选项 A正确.
（选项 B）显然当
0k
时，
( ) 0
gx
，
()
gx
无极值点，则
()gx
的图象与
x
轴不可能相切，故选项 B
错误.
（选项 C）易知函数
( )
fx
的最小值
( )
1
1 e e 1 0f= −  =
；当
1
2
k=
，
则函数
( )
gx
的最大值
1
( ) (1)
2
gg
k=
1 1 1
ln1 (1 2 ) 1
2 2 2
= − + −  +
0
=
，
因此方程
( ) ( )
f x g x
=
有唯一解
1x=
.
（选项 D）（解法一）易知当
0k
时，
1
2
xk
=
是
()gx
的极大值点，
若函数
( )
gx
有两个零点，则须有
1
( ) 0
2
gk
，即
2
1 1 1 1
ln ( ) (1 2 ) 0
2 2 2 2
kk
k k k
− + − +
，
绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A
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化简得
11
ln(2 )
42 k
k−
，不难解得
1
02
k
，
当
0
x+
→
时，
()gx→ −
，
显然当
1
02
k

时，有
2
11
2
kk
，
又
2
2 2 2 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1
( ) ln ( ) (1 2 ) 1
22
g k k
k k k k k k k k
= − + − + − − + − +
3 2 2
1 2 2 1 1 1 2 1
(2 ) ( )
22
k k k k k k
= − + − − = − − +
，当
1
02
k

时，
2
1
( ) 0gk
，故选项 D正确.
（解法二）
()
gx
有两个零点
21
ln (1 2 ) =0
2
x kx k x − + − +
1
ln ln 1
2= 2 1 = 2 1
2
xx
kx k kx k
x x x
+
+ − + + −
，
构造函数
ln 1
() 2
x
ux xx
=+
和
( )= 2 1v x kx k
+−
，
则
2
1 2ln
() 2
x
ux x
−
=
，易知
ex=
是
()
ux
的极大值点，极大值
1
( e) e
u=
，
函数
( )= 2 1v x kx k+−
的图象是过定点
( 2, 1)
−−
的直线，
直线
1= ( 2)
y k x++
与函数
()ux
的图象相切于点
00
( , ( ))
x u x
，则
0
0
0
( ) 1
() 2
ux
ux x
+
=+
，
则
0
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
00
ln 11
1 2ln 2 2 2 (4 4 )ln 1 2ln 1
22
x
x x x x x x x x x
xx
++
−= − = +  − = =
+
，
则
1 2ln1 1
(1) 22
ku −
= = =
，
则
k
的取值范围为
1
(0, )
2
，故选项 D正确.
综上所述，选项 ACD 正确.
三、填空题：
13.
22
1
43
xy
+=
（答案不唯一）； 14.
79−
； 15.
15π
2
； 16.
2 3 2+
.
13. 解析：
22
1
43
xy
+=
，形如
22
1( 0)
43
xy m
mm
+ =
这样的方程均可.
16．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601–1665）于 1643 年提出的平面几何极值问题：“已
知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费
马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△
ABC
的三个内角均小于
120
时，则使
得
120APB BPC CPA = = = 
的点
P
即为费马点.已知点
P
为△
ABC
的费马点，且
AC BC⊥
，若
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| | | | | |PA PB PC
+=
，则实数
的最小值为 .
解析：（解法一）不妨设
| | | |PA m PC=
，
| | | |PB n PC
=
，且
||
PC x=
，
∴由余弦定理得
2 2 2 2 2 2 2
| | 2 cos120 ( 1)CA x m x mx m m x= + −  = + +
，
2 2 2 2 2 22
| | 2 cos120 ( 1)
CB x n x nx n n x= + −  = + +
，
2 2 2 2 2 22 2 2
| | 2 cos120 ( )AB m x n x mnx m n mn x= + −  = + +
，
∵
2 2 2
| | | | | |AB CA CB=+
，
∴
2 2 2 2 2 2 2
( ) ( 1) ( 1)m n mn x m m x n n x+ + = + + + + +
，即
2m n mn
+ + =
，
又
2
()
4
mn
mn +
，
∴
2
()
24
mn
mn +
++
，
显然
mn
+=
，
∴
24 8 0

− − 
，解得
2 2 3
+
，或
2 2 3
−
（舍去），
易知当
31mn= = +
时，等号成立，
∴实数
的最小值为
2 3 2+
，故应填
2 3 2+
.
（解法二）不妨设
PCA
=
，则
π
2
PCB
= −
，
π
3
PAC
= −
，
π
6
PBC
= −
，
∴由正弦定理得
| | sin sin
π
|| 31
sin( ) cos sin
322
PA
PC


==
−−
，
及
π
sin( )
| | cos
2
π
|| 31
sin( ) sin cos
622
PB
PC

−
==
−−
，
∴
sin cos 3 sin2 3 1
3 1 3 1 3 2sin2 3
cos sin sin cos sin2
2 2 2 2 2
 
 
−
=+= = −
−
−− −
，
易知
π π
63

，
∴
2sin2 3 2 3
−  −
，
∴
33
1 1 2 3 2
2sin2 3 2 3
=−  − = +
−−
，即
2 3 2
+
，
易知当
π
4
=
时，等号成立，
∴实数
的最小值为
2 3 2+
，故应填
2 3 2+
.
四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
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