广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学（理科）试题答案

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理科数学试题答案及评分参考第1页（共19页）
2020 年深圳市高三第二次调研考试
理科数学试题答案及评分参考
一、选择题
1. B 2. D 3. C 4. A 5. A 6. D
7. A 8. C 9. D 10. B 11. C 12. D
11. 解析：
n
是不等式
2
log [(1 5) (1 5) ] 2 11
xx
x+ − − +
的正整数解，
2
log [(1 5) (1 5) ] 2 11
nn
n+ − − +
，
2
1 5 1 5
log [( ) ( ) ] 11
22
nn
+−
−
，
11
1 5 1 5
( ) ( ) ( 2)
22
nn
+−
 −
，
11
1 1 5 1 5 ( 2)
[( ) ( ) ]
22
55
nn
+−
− 
，
令
，则数列
{}
n
a
即为斐波那契数列，
11
( 2)
5
n
a
，即
11
22
5
n
a
，
显然数列
{}
n
a
为递增数列，所以数列
2
{}
n
a
亦为递增数列，
不难知道
713a=
，
821a=
，且
11
2
72
5
a
，
11
2
82
5
a
，
使得
11
22
5
n
a
成立的
n
的最小值为
8
，
使得
2
log [(1 5) (1 5) ] 2 11
nn
n+ − − +
成立的
n
的最小值亦为
8
，故选 C.
12. 解析：如图所示，
不妨设
1
(,)Ax
，
2
( , )Bx
，
3
( , )Cx
，且线段
AB
的中点为
0
( , )Mx
，
显然有
31
2π
xx
−=
，
12
0+
=2
xx
x
，且
()fx
的图象关于直线
0
xx=
对称，
绝密★启封并使用完毕前
试题类型：A
理科数学试题答案及评分参考第2页（共19页）
*
()AC nBC n=N
，
*
| | 1()
||
AB n n
n
AC
−
=N
，
21
2( 1)πn
xx n
−
−=
，即
21
2( 1)πn
xx n

−
−=
，……（1）
01

，且
*
nN
，
由正弦曲线的图像可知，
0
π
+2π()
2
x k k

= − Z
，
12
+π
+2π()
22
xx kk

= − Z
，即
21
4π π 2x x k
 
+ = − −
，……（2）
由等式（1），（2）可得
13π π
2π2
xk n

+ = − +
，
3π π
sin(2 π)
2
kn
− + =
，即
π
cos n
=
，
π
cos (0,1)
n
=
，且
*
nN
，
3n
，且
1
[ ,1)
2
，
对于结论①，显然
2n
，故结论①错误；
对于结论②，当
3n=
，且
||π
时，则
π1
cos 32
==
，故
( ) sin( )
2
x
fx
=+
，
若
()fx
的图象关于直线
x
=−
对称，则
π
π()
22
kk
− + = + Z
，即
2π π()kk
= + Z
，
显然与
||π
矛盾，从而可知结论②错误；
对于结论③，
1
[ ,1)
2
，且
()fx
在区间
π π
[ , ]
11

−++
上单调递增，
π π π
1 6 2
π π π
1 6 2
+ 
+
− +  −
+
（ ）
，
1
=2
，故结论③正确；
对于结论④，下证不等式
π
cos 1( 3)nn
n
，
（法一）当
3n
时，
π π 1
cos cos =
32n
，
π3
cos 1( 3)
2
nn
n 
，即
π
cos 1( 3)nn
n
，
（法二）即证不等式
π1
cos 0( 3)n
nn
− 
恒成立，
构造函数
π1
( ) cos ( 3)g x x
xx
= − 
，显然函数
()gx
单调递增，
当
3n
时，
1
( ) (3) 0
6
g n g = 
，即不等式
π1
cos 0( 3)n
nn
− 
恒成立，故结论④正确；
综上所述，正确的结论编号为③④，故选 D.
理科数学试题答案及评分参考第3页（共19页）
二、填空题：
13.
1=0xy−−
14. 2 15. 14 16.
32
16. 解析:不妨设
| | 3AE a=
，
| | 3AF b=
，
, (0,1)ab
，
在直角三角形
AEF
中，易知
EF
边上的高为
22
3ab
hab
=+
，
又五棱锥
A EBCDF−
的底面面积为
9(1 )
2
ab
S=−
，
欲使五棱锥
A EBCDF−
的体积最大，须有平面
AEF ⊥
平面
EBCDF
，
max 22
19(1 )
32
ab ab
V Sh ab
= = − +
，
22
2a b ab+
，
max 92
9(1 ) (2 )
24
2
ab ab
V ab ab ab
ab
 − = −
，
令
t ab=
，则
(0,1)t
，
3
max 92
(2 )
4
V t t−
，
(0,1)t
，
（法一）令
3
( ) 2f t t t=−
，
(0,1)t
，则
2
( ) 2 3f t t
=−
，
不难知道，当
6
3
t=
时，
()ft
取得最大值
46
9
，
max 9 2 4 6 23
49
V  =
，
综上所述，当
6
3
ab==
时，
五棱锥
A EBCDF−
的体积
V
取得最大值
23
，故应填
23
．
（法二）由题，可令
2cost
=
，
π π
( , )
42
，
则
3 2 2
2 (2 ) 2 2cos sint t t t

− = − =
，
令
2
( ) 2cos sing
 
=
，
π π
( , )
42
，
则
2 2 4 2 2 2
[ ( )] 2cos sin (2 2sin )sin sing
   
= = −
2 2 2 3
(2 2sin ) sin sin 8
[]
3 27
 
− + +
=
，
（当且仅当
22
2 2sin sin

−=
，即
6
sin 3
=
时，等号成立）， 所以
max 26
() 9
g
=
，
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