广东省深圳市2019年高三第二次（4月）调研考试数学(文）答案

文科数学试题第1页（共13页）

2019 年深圳市高三第二次调研考试

文科数学试题答案及评分参考

第Ⅰ卷

一．选择题

（1） C （2） A （3） D （4） C （5） B （6）C

（7） A （8） B （9） C （10）B （11）C （12）D

12.【解法 1】

1 2 2

( ) 1 2

2

a x x a

fx xx

x

−−

= − − =

．

注意到函数

2y x x=−

在

( )

1+，

上单调递增，且

21xx−

．

若

1

2

a

，则

1 2 0a−

，则

( ) 0fx



，函数

()fx

在

( )

1+，

上单调递增，故

( ) (1) 0f x f=

，

不合题意，应舍去．

当

1

2

a

时，此时存在

( )

01x + ，

，使得当

( )

0

1xx，

时，

()fx

单调递减，当

( )

0,xx +

时，

()fx

单调递增．因为

(1) 0f=

，所以

0

( ) 0fx 

．又因为

( )

2

( 1) 0fa+

，故此时

()fx

在

( )

1+，

上必定存在零点．综上所述，答案为 D．

【解法 2】函数

()fx

在

( )

1+，

上存在零点，即方程

ln 0x x a x− − =

在

( )

1+，

上有解，设

( 1)t x t=

，则方程可化为

22 ln 0( 1)t t a t t− − = 

，显然当

0a=

时，方程在

( )

1+，

上无解；

当

0a

时，方程可化为

1 ln

( 1)

2

t

at

−=

，通过研究直线

1( 1)

2

yt

a

=−

与曲线

lnt

yt

=

的位置关

系，易知

1

01

2a



，所以

1

2

a

.

【解法 3】此题作为选择题，结合答案是有一些较为灵活的解题方法的，比如可以将问题转化为

直线

( )

g x x=

与

( )

lnh x x a x=+

在

( )

1+，

上有交点，注意到

0a

和函数

( )

lnh x x a x=+

的凹凸性以及

( ), ( )g x h x

均过点

( )

1,1

，故可研究

( )

hx

在

( )

1,1

处的切线即可．

二．填空题：

13．

4

14．

1

15．

2

3

16．

2π

3

16【解法1】设

A BD





的外接圆半径为

r

，

2A DB





=

，其中

π

(0, )

2





．由正弦定理易得

文科数学试题第2页（共13页）

4sin

2sin2

r



=

，故

1

cos

r



=

．由题意知

2

1 = 5r+

．

解得

1

cos = 2



，所以

A DB





2π

=2 = 3



．

【解法 2】设

A BD





的外接圆半径为

r

，

2A DB





=

，其中

π

(0, )

2





，并设

AB



中点为

M

，

DM b=

，

A M a

=

，则有

2 2 2

()a b r r+ − =

，由于

22

4ab+=

，由此可得

2br =

，又因为

2

1 =5r+

，所以

=2r

，而

11

cos =

22

b

r



==

，所以

A DB





2π

=2 = 3



．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分 12 分）

已知数列

 

n

a

满足

12a=

,

122

n

nn

aa

+= + +

()n

N

．

（1）判断数列

{2}

n

a−

是否为等差数列，并说明理由；

（2）记

n

S

为数列

 

n

a

的前

n

项和，求

n

S

．

【解析】(1) 设

2

nn

n

ba= −

，则

1

11

2n

nn

ba +

++

=−

，……………………………2 分

则

1

1 1 1

( 2 ) ( 2 ) 2

n n n

n n n n n n

b b a a a a

+

+ + +

− = − − − = − −

， ……………………4 分

( 2 2) 2 2

nn

aa= + + − − =

()n

N

， ……………………………5 分

所以，数列

{2}

n

a−

是首项为

0

，公差

2d=

的等差数列．………………6 分

(2)由（1）可知

2 0 ( 1)

n

nna − = + −2

， …………………………………………8分

∴

2 2( 1)

n

an= + −

，………………………………………………………………9 分

∴

 

12

0 ( 1)

2 (1 2 ) 22

1 2 2

nn

n

nn

S n n

+

+−

−

= + = − + −

−

. …………………………12 分

【命题意图】本题主要考查数列的递推公式，等差数列的证明方法，分组求和法以及等

差、等比数列的前

n

项和公式等知识，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等

核心素养．

18．（本小题满分 12 分）

某网店经销某商品，为了解该商品的月销量

y

（单位：千件）与售价

x

（单位：元/件）之

间的关系，收集了

5

组数据进行了初步处理，得到如下数表：

x

5

6

7

8

9

y

8

6

4.5

3.5

3

（1）统计学中用相关系数

r

来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若

[0.75,1]r

，则

文科数学试题第3页（共13页）

认为相关性很强；若

[0.3,0.75)r

，则认为相关性一般；若

[0,0.25]r

，则认为相关性较弱.

请计算相关系数

r

，并说明

y

与

x

之间的线性相关关系的强弱（精确到

0.01

）；

（2）求

y

关于

x

的线性回归方程；

（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价

x

定为多少，可获取最大的月销售金额？

解：(1)由表中数据和附注中的参考数据得，

7x=

，

5y=

， ………………………………1 分

52

1

( ) 10

i

xx

=

−=



，

52

1

( ) 16.5

i

yy

=

−=



，……………………………………………2 分

5

1

( )( ) 12.5

ii

i

x x y y

=

− − = −



，

12.5 0.97

10 16.5

r−

  −



……………………………3 分

因为

0.97 [0.75,1]r − 

， ………………………4 分

说明

y

与

x

的线性相关关系很强．.……………………………………………………5 分

（2）由（1）可知

1

2

1

( )( ) 12.5 1.25

10

()

n

ii

in

i

x x y y

b

xx

=

=

−−−

= = = −

−



………………………7 分

5 1.25 7 13.75a y bx



 = − = − −  =（）

，…………………………………………… 8 分

1.25 13.75yx



 = − +

……………………………………………………………………9 分

（3）由题意可知，月销售额的预报值

2

1000 = 1250 13750z y x x x



=   − +

（元）

或者

2

= 1.25 13.75z y x x x



=  − +

（千元） ………10 分

则当

5.5x=

时，

z



取到最大值，

即该店主将售价定为

5.5

元/件时，可使网店的月销售额最大. ……12 分

【命题意图】本题旨在考查概率统计在实际问题中的应用，以研究相关系数，线性回归，二

次函数等知识为载体，考查了学生的数学运算、数学建模等数学核心素养．

19．（本小题满分 12 分）

在边长为

4

的正方形

ABCD

中，点

E

、

F

分别为边

AB

、

AD

的中点，以

CE

和

CF

为折

痕把△

DFC

和△

BEC

折起，使点

B

、

D

重合于点

P

位置，连结

PA

，得到如图所示的四棱锥

P AECF−

.

（1）在线段

PC

上是否存在一点

G

，使

PA

与平面

EFG

平行，若存在，求

PG

GC

的值；

若不存在，请说明理由.

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