广东省深圳市2019年高三第二次（4月）调研考试数学(理） 答案
理科数学试题答案及评分参考第1页（共13页）
2019 年深圳市高三第二次调研考试
理科数学试题答案及评分参考
第Ⅰ卷
一．选择题
1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.D
7.A 8.C 9.A 10.C 11.B 12. B
二．填空题：
13.
2
14.
221
3
xy−=
15.
72
16.
1009
11. 解析：
π
( ) 3sin cos 2sin( )
6
f x x x x= + = +
，
xR
，令
π
6
tx=+
，
( ) 2sinf x t=
.
若函数
()fx
恰有一个最大值点和一个最小值点在区间
π π
[ , ]
43
−
上，
也即函数
2sinyt=
恰有一个最大值点和一个最小值点在区间
π π π π
[ , ]
4 6 3 6
− + +
上，
3π π π π ,
2 4 6 2
π π π 3π,
2 3 6 2
− − + −
+
，解得
8 20 ,
33
1 4,
，即
84
3
，
的取值范围为
8
[ ,4)
3
，故应选 B．
12. 解析：（法一）补成长，宽，高分别为
3, 2,1
的长方体(如下图)，
由于
EF
⊥
，故截面为平行四边形
MNKL
，可得
5KL KN+=
，
设异面直线
BC
与
AD
所成的角为
，则
sin sin sinHFB LKN
= =
，
算得
26
sin 5
=
，
sin
MNKL
S NK KL NKL=
四边形
2
2 6 6
()
5 2 2
NK KL+
=
，
当且仅当
NK KL=
时取等号，故应选 B．
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（法二）
( )
1
2
FE AD FA FD AD = +
uur uuur uur uuur uuur
( )
1
4BA CA BD CD AD= + + +
uur uur uuur uuur uuur
( ) ( )
10
4BA AD CD AD CA AD BD AD
= + + + =
uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur
EF AD⊥
，同理可得
EF BC⊥
，
设异面直线
BC
与
AD
所成的角为
，则
sin sin sinHFB LKN
= =
，
( )
3 2 1BC AD BA AC AD BA AD AC AD = + = + = − + = −
uuur uuur uur uuur uuur uur uuur uuur uuur
Q
，
1
cos , 5
| | | |
BC AD
BC AD BC AD
= = −
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
，
26
sin , sin 5
BC AD
= =
uuur uuur
，即
26
sin 5
NKL=
，
同法一可得
6
sin 2
MNKL
S NK KL NKL=
四边形
，
当且仅当
NK KL=
时取等号，故应选 B．
16.解析：
11
22
n n n n n
S S S S na
−−
+ − =
，
1 1 1
2 2 ( )
n n n n n n
S S S S n S S
− − −
+ − = −
，
11
2 (2 1) (2 1)
n n n n
S S n S n S
−−
= + − −
，
1
2 1 2 1 2
nn
nn
SS
−
+−
−=
，
令
21
n
n
n
bS
+
=
，则
12
nn
bb
−
−=
（
2n
），
数列
{}
n
b
是以
1
11
33
1bSa
= = =
为首项，公差
2d=
的等差数列，
21
n
bn=−
，即
21
21
n
nn
S
+=−
，
21
21
n
n
Sn
+
=−
，
12 5 2 1
3 2 1
3 2 1
m
m
S S S m
m
+
= = +
−
，
由
2 1 2019m+
，解得
1009m
，即正整数
m
的最小值为
1009
，故应填
1009
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
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17．（本小题满分 12 分）
已知△
ABC
中，
2AB BC=
，
25AC =
，点
D
在边
AC
上，且
2=AD CD
，
2 = ABD CBD
．
（1）求
ABC
的大小；
（2）求△
ABC
的面积．
解：（ 1）(法一)依题意设
22
= =ABD CBD
，
∵
2=AD CD
，
25AC =
，
∴
45
3
AD =
，
25
3
CD =
， …………………………………………2 分
在△
BAD
中，由正弦定理，可得
sin sin
AB AD
ADB ABD
=
，
∴
sin 3 sin2
sin 45
AB ABD AB
ADB AD
= =
， ……………………………………4 分
同理，在△
BCD
中，由正弦定理，可得
sin 3 sin
sin 25
BC CBD BC
BDC CD
= =
， ……………………………………6 分
∵
πBDC BDA + =
，∴
sin sin = BDC BDA
，
∴
3 sin2 3 sin
4 5 2 5
AB BC
=
，
∵
2AB BC=
，∴
2sin cos sin
=
，
∵
0π
，∴
sin 0
，∴
2
cos 2
=
，∴
π
4
=
，
∴
3π
34
ABC
= =
. ……………………………………………………8 分
（2）在△
ABC
中，由余弦定理，得
2 2 2 2 cos3AC AB AC AB BC
= + −
，
∴
2 2 2 3π
(2 5) ( 2 ) 2 2 cos 4
BC BC BC BC= + −
，
解得
2BC =
， …………………………………………………………10 分
∴
2
1 1 3π
sin3 2 sin 2
2 2 4
ABC
S AB BC BC
= = =
. …………………………………12 分
(法二)
2=AD CD
，
1
2
==
BDC
BDA
SCD
S AD
， ……………………………………2 分
1sin
2
BDC
S BC BD
=
，
1sin2
2
BDA
S AB BD
=
，且
2AB BC=
，
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