广东省深圳市2019届高三第一次调研考试数学（理）答案

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理科数学试题答案及评分参考第1页（共14页）
2019 年深圳市高三年级第一次调研考试
理科数学试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一．选择题
1.D 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C
7.B 8.A 9.C 10.D 11.B 12.A
11. 解析:设△
ABC
的外接圆圆心为
O
，其半径为
r
，球
O
的半径为
R
，且
||OO d
=
，
依题意可知
1max
2
( ) 3
VRd
Vd
+
==
，即
2Rd=
，显然
2 2 2
R d r=+
，故
2
3
Rr=
，
又
4
2sin 3
AC
rABC
==
，故
2
3
r=
，
球
O
的表面积为
22
16 64
4π π π
39
Rr==
，故选 B.
12. 解析：
11
() 9
x
x
，
9
x
x
，
ln 2ln3
x
x
，
*
xN
，
0
，
（法一）
ln 2ln3x
x
，令
ln
() x
fx x
=
，则
2
1 ln
() x
fx x
−
=
，
易知
()fx
在
(0,e)
上递增，在
(e, )+
上递减，
注意到
2<e<3
，只需考虑
(2)f
和
(3)f
的大小关系，
又
ln2 ln8
(2) 26
f==
，
ln3 ln9
(3) 36
f==
，
(2) (3)ff
，
只需
ln3 2ln3
(3) 3
f
=
，即
6
，即实数
的最小值为
6
，故选 A.
（法二）
ln 2ln3
x
x
，
2ln3
ln xx

，令
2ln3
k
=
，则
ln x kx
（*），
不等式（*）有正整数解，即
lnyx=
在
y kx=
的图象上方（或者图象的交点）存在横坐
标为正整数的点，易知直线
e
x
y=
与曲线
lnyx=
相切，如右图所示，
ln2 2k
，或
ln3 3k
，
解得
4ln3
ln2
，或
6
，不难判断
4ln3 6
ln2
，即实数
的最小值为
6
，故选 A.
理科数学试题答案及评分参考第2页（共14页）
二．填空题：
13.
3
14.
15
15.
8
16.
103
16. 解析：
,1 1
1
12
nn
a−
=−
，
1,1 2
1
1 ,( 2)
2
nn
an
−−
= −
下面求数列
 
,2n
a
的通项，
由题意可知
,2 1,1 1,2 ,( 3)
n n n
a a a n
−−
= +
，
,2 1,2 1,1 2
1
1 ,( 3)
2
n n n n
a a a n
−− −
− = = −
，即
,2 1,2 2
1
1 ,( 3)
2
nn n
a a n
−−
− = −
，
,2 ,2 1,2 1,2 2,2 3,2 2,2 2,2 2
15
( ) ( ) ( ) 22
n n n n n n
a a a a a a a a n
− − − −
= − + − ++ − + = + −
，
数列
 
,2n
a
显然递增，又易知
102,2 103,2
100aa
，
m
的最小值为
103
，故应填
103
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分 12 分）
如图，在平面四边形
ABCD
中，
AC
与
BD
为其对角线，
已知
1BC =
，且
3
cos 5
BCD = −
．
（1）若
AC
平分
BCD
，且
2AB =
，求
AC
的长；
（2）若
45CBD = 
，求
CD
的长．
解：（ 1）若对角线
AC
平分
BCD
，即
22BCD ACB ACD =  = 
，
23
cos 2cos 1 5
BCD ACB = − = −
，
cos 0ACB
，
5
cos 5
ACB=
，………………………3分
在△
ABC
中，
1BC =
，
2AB =
，
5
cos 5
ACB=
由余弦定理
2 2 2 2 cosAB BC AC BC AC ACB= + − 
可得：
225 30
5
AC AC− − =
，解得
5AC =
，或
35
5
AC =−
（舍去），
AC
的长为
5
. …………………6分
A
B
C
D
（第 17 题图）
理科数学试题答案及评分参考第3页（共14页）
E
F
M
P
D
A
C
B
N
（2）
3
cos 5
BCD = −
，
24
sin 1 cos 5
BCD BCD = − =
，……………7分
又
45CBD = 
，
sin sin(180 45 )=sin( +45CDB BCD BCD = − −  ）
22
(sin cos )
2 10
BCD BCD= +  =
，…………………………9分
在△
BCD
中，由正弦定理
=
sin sin
BC CD
CDB CBD
，可得
sin =5
sin
BC CBD
CD CDB

=
，即
CD
的长为
5
.………………………12 分
【说明】本题主要考察正弦定理，余弦定理，三角恒等变换等知识，意在考察考生数形
结合、转化与化归思想，考察了学生的逻辑推理，数学运算等核心素养．
18.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥
P ABCD−
中，底面
ABCD
是边长
为
1
的菱形，
45BAD = 
，
2PD =
，
M
为
PD
的中点，
E
为
AM
的中点，点
F
在线段
PB
上，且
3PF FB=
.
（1）求证：
//EF
平面
ABCD
；
（2）若平面
PDC ⊥
底面
ABCD
，且
PD DC⊥
，
求平面
PAD
与平面
PBC
所成锐二面角的余弦值．
解：（1）证明：（法一）如图，设
DM
中点为
N
，连接
EN
，
NF
，
BD
，则有
//NE AD
，
NE
平面
ABCD
，
AD
平面
ABCD
，
//NE
平面
ABCD
，……………………2分
又
3
4
PN PF
PD PB
==
，
∴
//NF DB
，……………………4分
NF
平面
ABCD
，
BD
平面
ABCD
，
//NF
平面
ABCD
，……………………5分
又
NF NE N=
，
平面
//NEF
平面
ABCD
，
//EF
平面
ABCD
．……………………6分
（第 18 题图）
P
AB
C
D
F
M
E
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