高中数学专题18 任意角和弧度制（讲）（解析版）2020-2021学年高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）

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《2020-2021 学年高一数学同步讲练测（新教材人教 A版必修第一册）》

专题 18 任意角和弧度制（讲）

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知识点课前预习与精讲精析

1．任意角的概念

(1)角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)角的表示

如图所示：

①始边：射线的起始位置 OA

．

②终边：射线的终止位置 OB

．

③顶点：射线的端点 O．

④记法：图中的角 α可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”．

(3)正角、负角、零角

类型定义图示

正角按逆时针方向旋转形成的角

负角按顺时针方向旋转形成的角

零角射线从起始位置 OA 没有作任何旋转，终止位置 OB 与

起始位置 OA 重合，称这样的角为零度角，又称零角

这样，我们就把角的概念推广到任意角，包括正角、负角和零角．

[知识点拨](1)角的概念推广后，角度的范围不再限于 0°～360°(0°～360°是指 0°≤α<360°)．

(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：

①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视．

②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等．始边和终边重合的角不一定

是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角．

2．象限角

使角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合．那么，角的终边(除原点外)在第几象限，就说

这个角是第几象限角，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与坐标轴重合．

如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限．

[知识点拨]要正确区分锐角、0°～90°的角、小于 90°的角、第一象限角．锐角是 0°<α<90°的角；0°～90°的

角是 0°≤α<90°的角；小于 90°的角是 α<90°的角(包括零角、负角)；第一象限角是{α|k·360°<α<90°＋

k·360°，k∈Z}所表示的角．这四个概念不能混淆．

3．终边相同的角

(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合．

(2)终边相同的角的集合：所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋

k·360°，k∈Z}，即任一与角 α终边相同的角，都可以表示成角 α与整数个周角的和．

[知识点拨]理解集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：

(1)式中角 α为任意角；

(2)k∈Z这一条件必不可少；

(3)k·360°与α之间是“＋”，如 k·360°－30°应看成 k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；

(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦然．

[拓展]1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示

(1)象限角：

象限角集合表示

第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}

第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}

第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}

第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}

(2)轴线角：

角的终边的位置集合表示

终边落在 x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}

终边落在 x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}

终边落在 y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}

终边落在 y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}

终边落在 y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}

终边落在 x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}

终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}

4．弧度制

(1)定义：以弧度为单位度量角的单位制叫做弧度制．

(2)度量方法：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角．如图所示，圆 O的半径为 r，的长等于

r，∠AOB 就是 1弧度的角．

[知识点拨]　一定大小的圆心角 α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．

(3)记法：弧度单位用符号　rad　表示，或用“弧度”两个字表示．在用弧度制表示角时，单位通常省略

不写．

5．弧度数

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0．

如果半径为 r的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么角 α的弧度数的绝对值是|α|＝　　．

[知识点拨]　对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？

角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如 α＝k·360°＋(k∈Z)，β＝2kπ＋

60°(k∈Z)等写法都是不规范的，应写为 α＝k·360°＋30°(k∈Z)，β＝2kπ＋(k∈Z)．

3．弧度与角度的换算公式

(1)周角的弧度数是 2π，而在角度制下的度数是 360，于是 360°＝2π rad，即

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