高中数学专题3.3 几何概型-2018-2019学年人教版高一数学基础知识梳理（必修3）（原卷版）

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3.3 几何概型

【知识点总结】

1.几何概型

　如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概

率模型,简称为几何概型.

2.几何概型的特点

(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；

(2)每个基本事件出现的可能性相等.

3.几何概型计算公式

4.古典概型与几何概型的区别

相同：两者基本事件发生的可能性都是相等的；

不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.

【题型总结】

题型一与长度(角度)有关

【例 1】(1)(2015·高考重庆卷)在区间[0，5]上随机地选择一个数 p，则方程 x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根

的概率为________．

(2)(2016·高考山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数 k，则事件“直线 y＝kx 与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生

的概率为________．

(3)如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°，高 AD＝，在∠BAC 内作射线 AM 交BC 于点 M，则

BM<1 的概率为________．

【变式 1】若本例(1)条件“两个负根”变为“一正一负根”，则结果又如何？

【变式 2】(2017·宜春中学联考)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段

AC，CB 的长，则该矩形面积小于 32 cm2的概率为(　　)

A.　　　　　　　　 B．

C. D．

【变式 3】如图所示，在直角坐标系内，射线 OT 落在 30°角的终边上，任作一条射线 OA，

则射线 OA 落在∠yOT 内的概率为________．

【变式 4】设 a∈[0，10]，则函数 g(x)＝在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为________．

题型二　与面积有关

【例 2】(1)(2017·湖北华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数 x，y，使得 x＋2y≤8 的概率为(　　)

A.　　　　　　　　 B．

C. D．

(2)(2016·高考全国卷甲)从区间[0，1]随机抽取 2n个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成 n个数对

(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1的数对共有 m个，则用随机模拟的方法得到的圆

周率 π的近似值为(　　)

A.　　 B．

C. D．

角度一　与平面图形面积有关的几何概型

【变式 1】已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠ABC＝150°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的

距离大于 1的概率为(　　)

A.　　　　 B．1－　　　　

C.　　 D．1－

角度二　与线性规划知识交汇命题的几何概型

【变式 2】(2017·郑州市第一次质量预测)若不等式 x2＋y2≤2所表示的平面区域为 M，不等式组表示的平面

区域为 N，现随机向区域 N内抛一粒豆子，则豆子落在区域 M内的概率为________．

角度三　与定积分交汇命题的几何概型

【变式 3】(2017·辽宁大连模拟)在区间[0，π]上随机地取两个数 x，y，则事件“y≤sin x”发生的概率为(

)

A.　　　　 B．　　　　

C.　　 D．

题型三　与体积有关

【例 3】　一个多面体的直观图和三视图如图所示，点 M是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体 ADFBCE 内自

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