高中数学专题3.2 古典概型-2018-2019学年人教版高一数学基础知识梳理（必修3）（解析版）

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3.2 古典概型

【知识点总结】

1.基本事件

(1)定义：在一次试验中，所有可能出现的基本结果中不能再分的最简单的随机事件称为该次试验的基本事

件.

(2)特点：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

(3)基本事件的表示方法

①列举法：把试验的全部结果一一列举出来.此方法适合于较为简单的试验问题.

②列表法：将基本事件用表格的方式表示出来，通过表格可以弄清基本事件的总数，以及要求的事件所

包含的基本事件数.列表法适用于较简单的试验问题，基本事件数较多的试验不适合用列表法.

③树状图法：树状图法是使用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法，树状图法便于分析基本事件

间的结构关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验问

题.

2.古典概型

(1)定义：古典概型满足的条件：

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②每个基本事件出现的可能性相等 .

(2)计算公式：对于古典概型，任何事件的概率为

P(A)＝.

3.随机数的产生

（I）随机数的产生

(1)标号：把 n个大小、形状相同的小球分别标上 1,2,3，…，n.

(2)搅拌：放入一个袋中，把它们充分搅拌 .

(3)摸取：从中摸出一个 .

这个球上的数就称为从 1～n之间的随机整数，简称随机数.

（II）伪随机数的产生

(1)规则：依照确定算法.

(2)特点：具有周期性(周期很长).

(3)性质：它们具有类似随机数的性质.

计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为伪随机数 .

（III）产生随机数的常用方法

(1)用计算器产生.

(2)用计算机产生.

(3)抽签法.

（IV）随机模拟方法(蒙特卡罗方法)

利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的频率来估计概率，这种用计算

机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.

【题型总结】

题型一　基本事件的计数问题

【例 1】将一枚骰子先后抛掷两次，则：

(1)一共有几个基本事件？

(2)“出现的点数之和大于 8”包含几个基本事件？

解　方法一　(列举法)：

(1)用(x，y)表示结果，其中 x表示骰子第 1次出现的点数，y表示骰子第 2次出现的点数，则试验的所有结

果为

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，

(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，

(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 36 个基本事件.

(2)“出现的点数之和大于 8”包含以下 10 个基本事件：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，

(6,4)，(6,5)，(6,6).

方法二　(列表法)：

如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应.

(1)由图知，基本事件总数为 36.

(2)点数之和大于 8包含 10 个基本事件(已用虚线圈出).

方法三　(树状图法)：

一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示.如图所示：

(1)由图知，共 36 个基本事件.

(2)点数之和大于 8包含 10 个基本事件(已用“√”标出).

【变式 1】一个口袋内装有大小相同的 5个球，其中 3个白球，2个黑球，从中一次摸出 2个球.

(1)共有多少个基本事件？

(2)2 个都是白球包含几个基本事件？

解　方法一　(1)采用列举法.

分别记白球为 1,2,3 号，黑球为 4,5 号，则有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，

(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共 10 个(其中(1,2)表示摸到 1号、2号).

(2)“2 个都是白球”包含(1,2)，(1,3)，(2,3)三个基本事件.

方法二　(1)采用列表法.

设5个球的编号为 a，b，c，d，e，其中 a，b，c为白球，d，e为黑球.

列表如下：

abcde

a(a，b) (a，c) (a，d) (a，e)

b(b，a) (b，c) (b，d) (b，e)

c(c，a) (c，b) (c，d) (c，e)

d(d，a) (d，b) (d，c) (d，e)

e(e，a) (e，b) (e，c) (e，d)

由于每次取 2个球，因此每次所得的 2个球不相同，而事件(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有 10 个基

本事件.

(2)“2 个都是白球”包含(a，b)，(b，c)，(a，c)三个基本事件.

题型二　古典概型的概率计算

【例 2】将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况.

(1)一共有多少种不同的结果？

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