高中数学专题03 函数的概念与性质（知识点串讲）解析版2020-2021学年高一上学期数学期末考点大串讲（新教材人教A版）（串讲篇）

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专题 03 函数的概念与性质（知识点串讲）
知识网络
重难点突破
知识点一 函数的概念与分段函数
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
函数 映射
两个集合
A、B
设A、B是两个非空数集 设 A、B是两个非空集合
对应关系
按照某种确定的对应关系 f，使对于集
合A中的任意一个数 x，在集合 B中都
有唯一确定的数 f(x)和它对应
按某一个确定的对应关系 f，使对于集合
A中的任意一个元素 x，在集合 B中都有
唯一确定的元素 y与之对应
名称
称f：A→B为从集合 A到集合 B的一
个函数
称f：A→B为从集合 A到集合 B的一个
映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一
个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数 y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围 A叫做函数的定义域，与 x的值相对应的 y值叫做
1
函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
①解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
②列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
③图象法：注意定义域对图象的影响.
例1.（河南省金太阳 2020 年高一期中联考）若函数 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】 A.
【解析】法1（换元法）：令 ，则 ，所以 ，即 .由 ，
得 ，故选 A.
法2（等价法）：由 ，结合函数 ，令等式右边 ，代入 ，因为 作用下的
原象等价，故有 ，故选 A.
【变式训练 1-1】、（2012·全国高一课时练习）设集合 ， ，那么下
面的 4个图形中，能表示集合 M到集合 N的函数关系的有（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】 图象不满足函数的定义域，不正确； 满足函数的定义域以及函数的值域，正确；
不满足函数的定义，故选：C．
【变式训练 1-2】、（2020·全国高一）已知函数 ，若 ，则实数 之
值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2
【答案】D
【解析】令 ，则 ，所以 ，
由 ，解得 .故选：D．
知识点二 函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为 R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
(5)y＝ax(a>0 且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为 R.
(6)y＝logax(a>0 且a≠1)的定义域为(0，＋∞).
(7)y＝tanx的定义域为 .
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是 y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不
注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数 y＝kx＋b(k为常数且 k≠0)的值域为 R.
(2)反比例函数 (k为常数且 k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且 a≠0)，
当a>0 时，二次函数的值域为 ；
当a<0 时，二次函数的值域为 .
求二次函数的值域时，应掌握配方法： .
3
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