高中数学专题2.3 变量间的相关关系-2018-2019学年人教版高一数学基础知识梳理（必修3）（原卷版）

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2.3 变量间的相关关系
【知识点总结】
1.变量之间的相关关系
变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性的函数关系，变量之间的关系可以用解析式表示；
另一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用解析式来表达．
2.散点图
将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫
做散点图．
3.正相关
在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相
关．
4.负相关
在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相
关．
5.线性相关关系、回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，
这条直线叫做回归直线，这条直线的方程叫做回归直线方程，简称回归方程。
6.回归直线方程
①回归直线方程
假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(
x
1，
y
1)，(
x
2，
y
2)，…，(
xn
，
yn
)，则所
求回归方程是y＝b
x
＋a，其中b是回归方程的斜率，a是截距．
其中
②最小二乘法
通过求
Q
＝(
y
1－
bx
1－
a
)2＋(
y
2－
bx
2－
a
)2＋…＋(
yn
－
bxn
－
a
)2 的最小值而得出回归直线的方法，即使得样
本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
【题型总结】
题型一 基本概念的理解
【例 1】下列关系中，属于相关关系的是________．
①人的身高与视力的关系；
②做自由落体运动的物体的质量与落地时间的关系；
③降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
1
【变式 1】在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
①正方形边长与面积之间的关系；
②作文水平与课外阅读量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
【变式 2】下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是(　　)
A．瑞雪兆丰年
B．上梁不正下梁歪
C．吸烟有害健康
D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
【例 2】下表是某地的年降雨量与年平均气温，判断两者是相关关系吗？求回归直线方程有意义吗？
年平均气温(℃) 12.51 12.74 12.74 13.69 13.33 12.84 13.05
年降雨量(mm) 748 542 507 813 574 701 432
【变式 3】对变量
x
，
y
有观测数据(
xi
，
yi
)(
i
＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量
u
，
v
有观测数据
(
ui
，
vi
)(
i
＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断(　　)
A．变量
x
与
y
正相关，
u
与
v
正相关
B．变量
x
与
y
正相关，
u
与
v
负相关
C．变量
x
与
y
负相关，
u
与
v
正相关
D．变量
x
与
y
负相关，
u
与
v
负相关
【变式 4】某种产品的广告费支出
x
与销售额
y
之间有如下对应数据(单位：百万元)：
x
24568
y
30 40 60 50 70
(1)画出散点图；
(2)从散点图中判断销售金额与广告费支出成什么样的关系？
题型二 回归方程的理解
2
【例 1】下列有关回归方程y＝b
x
＋a的叙述正确的是(　　)
①反映y与
x
之间的函数关系；
②反映
y
与
x
之间的函数关系；
③表示y与
x
之间的不确定关系；
④表示最接近
y
与
x
之间真实关系的一条直线．
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
【变式 1】下列关于线性回归的判断，正确的个数为(　　)
①若散点图中所有的点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的点
A
，
B
，
C
；
③已知线性回归方程
y
＝0.50
x
－0.81，则当
x
＝25 时，
y
的估计值为 11.69；
④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势.
A.0 B.1 C.2 D.3
【变式 2】根据如下样本数据
x
3 4 5 6 7 8
y
4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0
得到的回归方程为y＝
bx
＋
a
，则(　　)
A．
a
>0，
b
>0 B．
a
>0，
b
<0
C．
a
<0，
b
>0 D．
a
<0，
b
<0
【例 2】设有一个回归方程为y＝－1.5
x
＋2，则变量
x
增加一个单位时(　　)
A．
y
平均增加 1.5 个单位
B．
y
平均增加 2 个单位
C．
y
平均减少 1.5 个单位
D．
y
平均减少 2 个单位
【变式 3】有人统计了同一个省的 6 个城市某一年的人均国民生产总值(即人均 GDP)和这一年各城市患白
血病的儿童数量，如下表：
人均 GDP/万元 10 8 6 4 3 1
患白血病的儿童数/人 351 312 207 175 132 180
3
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